回転数と流量、揚程、動力の関係について

こんにちは。
ポンプで回転数ｎと流量Ｑ、回転数ｎと揚程Ｈ、回転数ｎと軸動力Ｌの関係について回転数ｎ1、ｎ2としたときＱ1/Ｑ2＝ｎ1/ｎ2、Ｈ1/Ｈ2＝（ｎ1/ｎ2）＾2、Ｌ1/Ｌ2＝（ｎ1/ｎ2）＾3とそれぞれ１乗、２乗、３乗の関係がある
解説を見るのですがこの根拠を教えて下さい。

No.2 ベストアンサー 回答者： Teleskope 回答日時： 2004/05/03 11:43

　

根拠は「運動とエネルギーの関係」です。
ポンプを理想化した原理的な表現です。


１．流量。
直径Dの車輪がｎ回転/秒で回ってる場合の外周の速度は
　　V = πD・ｎ　　です。
外周に羽根を付けて水を掻くと、水も同じ速度Vで動きますから、

(1)　流量Qは 『 回転数に比例 』 します。
(2)　Q = ｋ・ｎ　　比例式で表した。ｋは比例係数。
(3)　Q1/Q2 = ｎ1/ｎ2　係数を使わない形の比例式。

　(3)は、(2)の適当な２カ所、Q1=k・n1、Q2=ｋ・n2 を分数にしただけのものです。分数にするとｋが消えますよね。ｋは水車の寸法とか水の抵抗などが絡む現実的なものだから、抽象的な話をするときには出て欲しくない、そこで(3)のように「出てこない形」にするのです。
さらに、分数にすればメートルとかkgとかの次元も約分されて消えてしまうので「ただの数」になります。10rpmと20rpm、1000rpmと2000rpm、分数ならどちらも「2倍」となり、理論的、抽象的に説明をやりやすいのです。



２．揚程
物理の「運動エネルギと位置エネルギの関係」そのものです。物理の教科書にある式、
　　1/2・mV^2 = mgH　　Hは高さ
これを上記の(3)をマネして、V1のときH1、V2のときH2、の記号を使って分数にすると、ｇもｍも1/2もみんな消えて、
　　(V1/V2)^2 = H1/H2
となりますね、見やすいでしょう？
Hは揚程そのものだし、回転数と流速Vは上記１から分かるように比例です（この比例計数も分数で消えてしまうことが理解できますか？）。
　　(n1/n2)^2 = H1/H2
となります。



３．動力
動力（ワットとか馬力）は、単位時間のエネルギ量（ジュール）、すなわち ジュール/秒 です。
単位時間に運ばれる流体の質量は
　　m =ρQ　kg/s
ρは流体の密度kg/m＾3、Qはm^3/s
連続して毎秒、位置エネルギmgHを与え続けるから、その動力は
　　L = mgH = ρQgH　J/s
これもまた分数化すると、
　　L1/L2 = (Q1H1)/(Q2H2)
これにQとHの式を入れると、
（以降は自分で。）



（分数にしてただの数にする方法を、無次元化や基準化などとも言います）

この回答へのお礼

こんにちは、teleskopeさん
回転数と流量、揚程、動力の関係がよくわかりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2004/05/03 17:32

No.3 回答者： foobar 回答日時： 2004/05/03 13:12

補足

（「負荷」の用語、不適切だったかな、、）

先のアドバイスで、「負荷」と書いたのは、ポンプで流体を駆動される、配管、タンク、その他もろもろひっくるめたものを表しました。

このように配管やらなんやらが決まると、そこに流れる流体の流量と全揚程の関係が決まります。
（＃１で書いた、極端な例：下の池から上の池に太い配管で水をくみ上げる：だと、全揚程はほぼ一定になって、H-Qはほぼ水平の線になりますし、ポンプ出口からポンプ入り口まで配管でつながれている(ループを描いている）場合（で配管内が層流の場合）には、全揚程はほぼ流量に比例となるようです。）

このH-Q特性をポンプの性能曲線と重ねて書けば、交点（動作点)がでます。

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余談
ポンプでも、先に紹介したページにある「容積型」だと、（体積)流量は回転数に比例で、ポンプの性能曲線は（ほぼ）垂直になります。（それこそ、全揚程は流体を流し込む相手側だけで決まるような状態になります）

この回答へのお礼

負荷の特性曲線は配管等含めたH-Q特性をポンプの性能曲線のH-Q特性を重ねるということで
回転数－揚程特性とH-Q特性を重ねることではないことが理解できました。
ありがとうございました。

お礼日時：2004/05/03 17:30

No.1 回答者： foobar 回答日時： 2004/05/03 08:41

まず、最初に

一般に(全)揚程と流量は独立しているものではなく、ポンプの揚程と流量の特性（性能曲線）と負荷の特性で決まります。ポンプの回転数を変えると、それに伴って性能曲線が移動し、負荷の特性(曲線)との交点が変わって、次の揚程と流量になります。
また、この性能曲線はポンプの形式などによって形が異なります。したがって、必ずしも、単純に流量が回転数に比例、揚程が自乗に比例　というわけではありません。
（参考）
http://www.sanwapump.co.jp/topics/pump/pump_007. …

という点を念頭においていただいて、適当な負荷が繋がった遠心ポンプ（一般によく使われているタイプ）だと、、
遠心ポンプの概要は
http://www.sanwapump.co.jp/topics/pump/pump_003. …
に書かれています。水を回転する羽でかき混ぜて、水に回転運動を与えて送り出します。このとき、
水の送り出される速度(流量)：ほぼ、羽の回転数に比例
送り出される圧力(揚程)：最外周の水の遠心力に比例=回転数の自乗に比例
動力：流量＊揚程：回転数の3乗に比例
となります。

もちろん、最初に書いたように、揚程と流量は負荷の特性によっても変わります。上記のようになるには、全揚程が流量の自乗に比例しているような特性をもっている負荷が繋がっている必要があります。極端な話、非常に太い配管で下の池から上の池に水をくみ上げるよな場合、全揚程はほぼ一定、あとは流量が変わるだけ　というような状況にもなりえます

参考URL：http://www.sanwapump.co.jp/topics/pump/pump_top. …

この回答への補足

こんにちは。
foobarさんアドバイスありがとうございます。
　流量（速度）：回転数に比例
　揚程(圧力)：最外周の水の遠心力に比例=回転数の自乗に　　比例
　動力：流量＊揚程：回転数の3乗に比例
の説明で、納得できました。

　遠心力ｆ＝ｍａ＝ｍｒω＾2
　　ここでｍは流体の重量、ａは加速度、ｒは円運動の半　　径、ωは角速度（ここでいう回転数）
ということですね。
またわかりやすいサイト紹介して下さり、ありがとうございます。

次にポンプの性能曲線と負荷の特性曲線の交点が流量、揚程になると言われましたが、性能曲線はＱ－Ｈ図で、負荷の特性曲線は揚程を例にすると回転数－揚程図で２乗曲線ですがＸ軸が流量と回転数で違うので同じグラフに書けないと思います。交点はどのように見つけるのですか？

補足日時：2004/05/03 11:58