正方形の頂点までの距離の和の最大値

座標平面上に定点A(1,0),B(0,1),C(－1,0),D(0,－1)がある。
動点P(x,y)が円板上x^2+y^2≦1を動く。

PA×PB×PC×PDの取りうる範囲は次のようになる。
［図形的方法,三角関数を使う方法、座標を使う方法がありますが、複素数を使う方法が簡単です］
複素数平面で、P(z)とすると、0≦|z|≦1
このとき、
PA×PB×PC×PD=|z-1|×|z-i|×|z+1|×|z+i|
=|z^4-1|より
円板0≦|z^4|≦1内の点z^4と1との距離を考えて、
0≦PA×PB×PC×PD≦2
（左の等号成立はz=±1,±iのとき。右の等号成立は、z=±1/√2±i/√2のとき。）

PA＋PB＋PC＋PDの最小値は次のようになる。
複素数平面で、P(z)とすると、0≦|z|≦1
このとき、
PA＋PB＋PC＋PD=|z-1|＋|z-i|＋|z+1|＋|z+i|
≧|z-1-(z+1)|+|z-i-(z+i)|=4
(等号成立の場合はz=0のとき)

PA＋PB＋PC＋PDの最大値がうまく求められませんので、どうか教えていただけないでしょうか。

No.6 回答者： staratras 回答日時： 2014/02/17 17:33

No.4&5です。

誤記の訂正があります。失礼しました。

No.4

誤：図の対称性から０≦x≦π/4　の範囲を調べればよいことがわかります。
正：図の対称性から０≦x≦π/2　の範囲を調べればよいことがわかります。

No.5

誤：【解２】No.3の図で、
正：【解２】No.4の図で、


誤：AP=x,BP=y,CP=x',DP=y' とすると余弦定理から
x^2+y^2+√2xy=2 …(1)とx^2+y^2-√2xy=2 …(2)

正：AP=x,BP=y,CP=x',DP=y' とすると余弦定理から
x^2+y^2+√2xy=2 …(1)とx'^2+y'^2-√2x'y'=2 …(2)

No.5 回答者： staratras 回答日時： 2014/02/17 14:12

No.4です。

二つ目の解です。

【解２】No.3の図で、別の２つの三角形、PBAとPCDに着目します。点Pが両端を除く劣弧AB上にあるとき角APBと角DPCはそれぞれ中心角3π/2とπ/2に対する円周角だから、常に3π/4とπ/4で一定です。なおPが頂点AまたはBと一致した場合は4頂点からの距離の和は2+√2になり、以下で求めた最大値より小です。

そこでAP=x,BP=y,CP=x',DP=y' とすると余弦定理から
x^2+y^2+√2xy=2 …(1)とx^2+y^2-√2xy=2 …(2) が成り立ちます。
(1)(2)はともにx,y(x',y')に関する対称式だから、直線y=x(y'=x')に対して対称であり、
これを長軸または短軸とする楕円を表します。
下のグラフで（1)が青、(2)が紫です。

この範囲でx+y=k(x'+y'=k')の最大値を調べると、幸いなことにどちらもx=y(x'=y')のときに最大値をとり、
kの最大値は2√(2-√2)、k'の最大値は2√(2+√2)です。
したがってAP＋BP+CP+DPつまりk+k'の最大値もこのx=y(x'=y')のときで
2（√(2-√2)+√(2+√2)）≒ 5.2262…です。

この値は一見すると解１の結果と異なるように見えますが、２乗すると一致します。

No.3 回答者： 178-tall 回答日時： 2014/02/16 21:17

>PA＋PB＋PC＋PDの最大値…

ヒント。
「PA＋PB＋PC＋PD」は、同心円 |z|<1 上の点 P よりも、単位円 |z|=1 上の点 P にて増大 (増分は非零) するらしい。

…だとすると、単位円上で極大点をさがせばよいのかナ？

　　

No.2 回答者： ramayana 回答日時： 2014/02/16 21:17

P を (x 座標, y 座標) で表して、 ( (0.5)^0.5, (0.5)^0.5 ) 、( (0.5)^0.5, -(0.5)^0.5 ) 、 ( -(0.5)^0.5, (0.5)^0.5 ) 、( -(0.5)^0.5, -(0.5)^0.5 ) の 4 点で最大値となり、そのときの値は

　　(((0.5^0.5-1)^2+0.5)^0.5+((0.5+(0.5^0.5+1)^2))^0.5)*2 ≒ 5.226252

である。正攻法でやると、次のとおり。

　　f(x,y) = PA＋PB＋PC＋PD
　　　　 = ((x-1)^2 + y^2)^0.5 + (x^2 + (y-1)^2)^0.5
　　　　　 + ((x+1)^2 + y^2)^0.5 + (x^2 + (y+1)^2)^0.5

とする。

（最大値をとる P が円周上にあること）

もし、(x, y) が円の内部にあるなら、その点において

∂f/∂x = 0、∂f/∂y = 0 を満たさなければならない。ただし、

　　∂f/∂x = 2(x-1)((x-1)^2 + y^2)^(-0.5) + 2x(x^2 + (y-1)^2)^(-0.5)
　　　　　　　　+ 2(x+1)((x+1)^2 + y^2)^(-0.5) + 2x(x^2 + (y+1)^2)^(-0.5)

　　∂f/∂y = 2y((x-1)^2 + y^2)^(-0.5) + 2(y-1)(x^2 + (y-1)^2)^(-0.5)
　　　　　　　　+ 2y((x+1)^2 + y^2)^(-0.5) + 2(y+1)(x^2 + (y+1)^2)^(-0.5)

である。∂f/∂x についてみると、 y の値にかかわらず

　　x < 0 のとき ∂f/∂x < 0
　　x = 0 のとき ∂f/∂x = 0
　　x > 0 のとき ∂f/∂x > 0

である。また、∂f/∂y についてみると、 x の値にかかわらず

　　y < 0 のとき ∂f/∂y < 0
　　y = 0 のとき ∂f/∂y = 0
　　y > 0 のとき ∂f/∂y > 0

である。よって、∂f/∂x = 0、∂f/∂y = 0 となるのは、 x = 0 、 y = 0 のときだけであって、このとき f(x, y) は最小値をとる。したがって単位円の内部で、f(x, y) が最大になることはない。したがって、f(x, y) が最大になる点は、円周上にある。

（円周上で f(x, y) が最大になる点を求める）

g(x, y) = x^2 + y^2 -1 と置く。問題は、g(x, y) = 0 という条件のもとで、 f(x, y) が最大になる点を求めることである。そのような点では、適当な実数λにより、

[1]　　∂f/∂x = λ・∂g/∂x
[2]　　∂f/∂y = λ・∂g/∂y

を満たさなければならない（ラグランジュ未定乗数法）。ここで

[3]　　∂g/∂x = 2x
[4]　　∂g/∂y = 2y

であり、また、円周上では

[5]　　∂f/∂x = -(2-2x)^0.5 + 2x(2-2y)^(-0.5)
　　　　　　+ (2+2x)^0.5 + 2x(2+2y)^(-0.5)

[6]　　∂f/∂y = -(2-2y)^0.5 + 2y(2-2x)^(-0.5)
　　　　　　+ (2+2y)^0.5 + 2y(2+2x)^(-0.5)

である。円周上で[1] から [6] を満たす点は、次の 8 個である。

　　(1, 0)
　　(0, 1)
　　(-1, 0)
　　(0, -1)
　　( (0.5)^0.5, (0.5)^0.5 )
　　( (0.5)^0.5, -(0.5)^0.5 )
　　( -(0.5)^0.5, (0.5)^0.5 )
　　( -(0.5)^0.5, -(0.5)^0.5 )

このうち、前半の 4 個が円周上で極小値、後半の 4 個が円周上で極大値である。また、後半の 4 個で f(x, y) の値は等しい。よって、後半 4 個が f(x, y) の最大値を与えることが分かる。

この回答へのお礼

ありがとうございます。すみません、

　　∂f/∂x = 2(x-1)((x-1)^2 + y^2)^(-0.5) + 2x(x^2 + (y-1)^2)^(-0.5)
　　　　　　　　+ 2(x+1)((x+1)^2 + y^2)^(-0.5) + 2x(x^2 + (y+1)^2)^(-0.5)

である。∂f/∂x についてみると、 y の値にかかわらず

　　x < 0 のとき ∂f/∂x < 0
　　x = 0 のとき ∂f/∂x = 0
　　x > 0 のとき ∂f/∂x > 0

というのが何度考えてもわかりませんでした。

お礼日時：2014/02/18 16:03

No.1 回答者： Administrators 回答日時： 2014/02/16 12:16

複素数を使わずに初等幾何で解くと、うまくいくと思いますが・・・

A,B,C,Dをそれぞれ焦点と考えた楕円を用いて、最大値ですので、内接条件を考えて、
あとはx^2+y^2=1の円の中での最大値問題にすればよいと思います。

どうでしょうか。

この回答への補足

例えば、PA＋PB=aを固定したとき、PはA、Bを焦点とする楕円上Eにある。
このとき、PC＋PDの最大は、C、Dを焦点とする楕円とEが接するときになりますが、
その接し方が1点で接するか、2点で接するかが微妙で、直観幾何学的には判断ができないと思うのですが。
また、次にaを動かしたとき、その接点がどう移動していくかも直観幾何学的には判断ができないと思うのですが。

補足日時：2014/02/16 20:56