高校数学、積分法の応用

物体を真上に投げあげるとき、物体の加速度は、－９，８ｍ／ｓ＾２、初速度を４９ｍ／ｓとする。
ｔ秒後の物体の速度ｖと、地上からの高さｘをｔの式で表せ。
わたしの考え
ｖ＝∫（－９，８ｔ）ｄｔ
解答
ｖ＝∫（－９，８）ｄｔ
なぜ、－９，８ｔでないのでしょうか

No.6 ベストアンサー 回答者： gohtraw 回答日時： 2014/02/24 19:39

速度は位置の変化率、つまり位置を時間で微分したものなので、

位置をｘ、時間をｔで表すとｄｘ／ｄｔです。だからその単位は
距離／時間　（たとえばｍ／ｓｅｃ）になります。

加速度は速度の変化率なので、速度を時間で微分したもの
です。したがってその単位は（たとえば）ｍ／ｓｅｃ＾２に
なります。

つまり加速度を時間で積分すると速度になるということ。

加速度と速度の単位を見ると、速度は時間のマイナス１乗、
加速度は時間のマイナス２乗になっています。これが
「次数が一つ上がる」の意味です。

この回答へのお礼

わかりました。皆様お付き合い頂いてありがとうございました。
また、手助けして下さい。

お礼日時：2014/02/24 21:37

No.5 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/02/24 17:27

ある関数を積分する場合、その関数には必ずしも変数を含む必要はありません

定数関数 ＝ 値の変動しない、すなわち定数であるような関数を積分することもできます

円、三角形の面積を積分で求める時、関数に変数 含まれていますが、長方形の面積を求める場合は、縦の長さが常に一定です

球、円錐、三角錐の体積を求める時は、関数に変数 含まれていますが、直方体の体積を求める場合、断面積は常に一定です

重力の加速度は、正確には地上 何km か、月の引力は考えなくて良いのか、宇宙まで行くとどうか？ 、空気の抵抗は？　など悩ましいですが、今回は問題文に 加速度は ー9.8m/s^2 と定数としているので、そういう面倒くさいことは考えなくて良いです

No.4 回答者： kenl5es335 回答日時： 2014/02/24 15:47

つづき

なので

いまの場合

v = ∫(-9.8)dt + 49
= -9.8t + 49

となります

No.3 回答者： kenl5es335 回答日時： 2014/02/24 15:43

(速度) = ∫(加速度)dt + (初速度)

です。

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2014/02/24 15:39

単位を考えてみましょう。

加速度の単位は　ｍ／ｓｅｃ＾２　です。これに時間（秒）をかけると
ｍ／ｓｅｃになり、これを積分しても速度の単位（ｍ／ｓｅｃ）には
なりません。

加速度（ｍ／ｓｅｃ＾２）を時間で積分したら時間の時数が一つ
上がってｍ／ｓｅｃになるでしょ。

この回答への補足

積分したら、次数一つ上がるとはどういうことでしょうか？

補足日時：2014/02/24 17:58

No.1 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/02/24 14:53

まず、加速度は時間によらず、常に一定の －９，８ｍ／ｓ＾２（重力の加速度）がかかっており、

普通は積分を使わず、

ｖ＝ 4.9m/秒 ー 9.8 m/秒^2 × t 秒
　＝ （4.9 － 9.8t）m/秒

と計算します

まどろっこしく、積分を使っても、

ｖ＝4.9 ＋∫[0,t]（－９，８）ｄｔ
　＝ 4.9 ＋ [ー9.8t ＋ c] （0, t）
　＝ 4.9 ー 9.8t

と計算できます
加速度は時間にかかわらず、一定の 9.8 がかかっているので
ー9.8 を積分します、
ー9.8 t は時間がたつと、加速度も大きくなるということですので、
間違ってます

ついでに、地上からの高さ x は

x ＝ ∫[0,t]（4.9 ー 9.8t）ｄｔ
　＝ [ 4.9t ー 4.9 t^2]（0,t）
　＝ 4.9 ー 4.9t^2 です

* 卒業してだいぶんたってるから自信ないけど