xが有理数の時に1を、
xが無理数のときに0をとるような関数f(x)をディリクレ関数というですが、
この関数は
f(x)=lim[m→∞]lim[n→∞](cos2πm!x)^n
と書くことが出来るそうです。
その理由が本を読んでも良く分かりません。
本には
xが有理数ならば、十分大きい自然数mに対してcos2πm!x=1を満たし
xが無理数ならば、任意の自然数mに対して|cos2πm!x|<1となるから。
と書かれていたのですが、よく分かりませんでした。
大学の数学科でεーδ論法を1年間勉強して、ルベーグに手を出し始めたところなのですが、
この関数に苦戦しています。
解説お願いいたします。
No.1
- 回答日時:
どこが「よくわからない」んでしょうか?
この回答への補足
xが有理数のとき、十分大きなmにたいして、なぜlim[n→∞]f(x)=1になるのでしょうか?
x=a/b(a,bは互いに素)と置いて考えても、上の理由が見つかりませんでした。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
難しく考えすぎ。
落ち着いてよくみれば高校生でもわかる単純なはなし。
εーδとかルベーグとか難しいことは一旦忘れてみよう。
xが有理数
→x=a/b((a,bは整数)mがbより大きくなると m!xは"いつも整数"になる。
→cos(・・・)が1になる。
xが無理数
→どのようなm対しても、m!xが整数にならない(なったらビックリ)
→cos(・・・)が1にも-1にもならない(絶対値が1未満になる)
→(n→∞)のときcos(・・・)^nが0になる。
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