フェルマー直線(造語)

(頂角がすべて120度未満の)三角形ABCに対して点Pをとり、
PA+PB+PC
が最短になるような点Pをフェルマー点といい、∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120度などの性質があります。

三角形ABCに対して直線pをとり、
直線pと点Aとの距離をpAなどと書くことにすると、
pA+pB+pC
が最短になるような直線pを考えると、なにか性質はありますでしょうか。

統計学の分野では、Σ｛ y_k - (a_x k + b) ｝^2　が最小となるような直線 y = ax + b を回帰直線といい、ｘ_k の平均， ｙ_k の平均 による重心を通るという性質があり、相関をみるのに役立ちます。

今回の質問も、3つの家A、B、Cの間に一本のまっすぐな川をつくり、それぞれの家から川までの距離の和を最小にするという意味で、何らかの役に立てばいいのですが。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2014/03/11 23:01

　直線pと頂点までの距離の総和を

　　D(p) = pA+pB+pC
と書く事にしましょう。すると、直線pが「フェルマー直線」であるとは「D(q)＜D(p)となるような直線qはない」ということですね。

(1) 三角形と全く交差しない直線pに対して、pと平行で三角形の中を通過する直線qを考えると明らかに D(p)＞D(q)である。
だから、三角形と全く交差しない直線pは「フェルマー直線」ではない。
(2) 三角形の中を通過し、どの頂点も通らない直線pを考えます。三角形の頂点のうちで、ひとつの頂点をA、他のひとつをBとし、ただしAとBはpを隔てて反対側にあるものとします。で、残りひとつの頂点をCとしましょう。pと平行で三角形の中を通過する直線rを考えると、明らかにrA+rBは、rとpの距離とは無関係（一定）です。ゆえに、pと平行でCを通る直線qを考えると qC=0＜pC なので D(q)<D(p)である。
だから、三角形のどの頂点も通らない直線pは「フェルマー直線」ではない。
(3) 三角形の中を通過し、ひとつの頂点だけを通る直線pを考えます。その頂点をAとし、残り二つの頂点をB,Cとしましょう。すると
　　D(p) = (Bからpへ下ろした垂線の長さ)+(Cからpへ下ろした垂線の長さ)
である。ここで、AとBを通る直線qや、AとCを通る直線rを考えれば、簡単にD(p)＞D(q), D(p)＞D(r)が示せます。
だから、三角形の頂点のうち二つを通らない直線pは「フェルマー直線」ではない。
　言い換えれば、
「フェルマー直線」は、三角形の辺のどれかを延長した直線である。そして、そのような直線pについて、
　　D(p) = (pを底辺としたときの三角形の高さ）
であることは明らかです。
(4) かくて「フェルマー直線」の候補pは3つに絞られた訳ですが、D(p)が最小なのは、pが三角形の最長の辺を延長した直線の場合であることは明らか。
　というわけで、ANo.2の通りなんですよ。

No.2 回答者： ramayana 回答日時： 2014/03/09 22:00

失礼、 ANo.1 は、勘違いでした。

距離の平方の和でなくて、距離の和だったのですね。それだっら、

　　「三角形の最大の辺を含む直線」

になります。

No.1 回答者： ramayana 回答日時： 2014/03/09 13:55

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