熱伝導方程式 クランクニコルソン法

クランクニコルソン法の精度と安定性について調べているのですが、よくわかりませんでした。
何の値がどれくらいななると、精度がよく安定である、と言えるのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： yammy-j 回答日時： 2014/05/03 19:39

> 常に安定しているということは空間と時間に依存しない、ということですか？

「安定性」が空間と時間の「刻み幅」に依存しない、と言う意味ならYES
「解」が空間と時間の「座標」に依存しない、と言う意味ならNOです。念のため。

> もしくは安定性を証明する式などがあったら教えていただけませんか？
私も結論を覚えているだけなので、詳細を解説することは出来ないかもしれませんが、リファレンスを紹介するだけなら。
http://www.na.scitec.kobe-u.ac.jp/~yamamoto/lect …

この回答へのお礼

ありがとうございました。
頑張ってみます。

お礼日時：2014/05/04 09:52

No.1 回答者： yammy-j 回答日時： 2014/05/03 15:58

まず「何の値」は「空間と時間の分解能」です。

そして「精度が良いこと」と「安定である」事は別の問題です。

・安定性について
クランク・ニコルソン法は、常に安定であるので、どのような刻み幅で空間と時間を分割しても不安定になることはありません。

そもそも論として、クランク・ニコルソン法よりもシンプルな陽解法というものがあり、その陽解法は空間と時間の刻み幅の取り方によっては不安定になると言う問題を抱えていました。(ここで言う不安定というのは、精度が悪いとかってレベルではなく、とんでもない結果が出てしまうと言うことです。)
クランク・ニコルソン法(などの陰解法)はこの問題を改善したものです。

・精度について
数値計算には「打ち切り誤差」と「丸め誤差」の二つの誤差要因があります。
時間や空間の刻み幅を小さくしていけば打切り誤差を小さくすることが出来ますが、細かくしすぎると丸め誤差が大きくなるためトータルの誤差は逆に大きくなってしまいます。

それで、具体的にどの様な刻み幅にすれば最も誤差が少なくなるのか？と言う話ですが、これに対する一般的な答えを私は知りません、刻み幅を変更しながら複数回計算を行って当たりを付けるしかないのかなと思っています。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
常に安定しているということは空間と時間に依存しない、ということですか？
もしくは安定性を証明する式などがあったら教えていただけませんか？

お礼日時：2014/05/03 18:27