500ピースのジグソーパズル 隣同士を選ぶ確率。

500ピースのジグソーパズルを2人でやっていて
同じタイミングで隣どうしのピースを選ぶ確率ってどのくらいあるのでしょうか？
この前それが起きて気になって質問しました 分かる方いらっしゃったらおねがいします。

No.1 回答者： tanuki4u 回答日時： 2014/05/06 11:22

角（つまり、隣接ピースが二つのみ）

辺（つまり、隣接ピースが三つのみ）
その他（つまり、隣接ピースが四つ）

それぞれを選択するケースの確率をもとめて総和をとる
※　それぞれの選択は独立事象なので、単純和で大丈夫

500ピースの場合　上記の三パターンはいくつあるのかは未定義

No.2 回答者： CC_T 回答日時： 2014/05/06 11:22

最初の２つを持った時点で一方が持ったピースが上下左右に繋がるピースだった場合、他方のピースがそのピースに繋がる確率は４９９ピースのうちの４つですから、4/499で0.8％。

同様に３面に繋がるピース（縁部分）だった場合、3/499、２面に繋がる部分（コーナー部分）の場合は2/499、です。
残り１０１ピースで一方が４辺繋がるピースを持った場合（既に置かれて繋がっているピースと繋がらないピースを持った場合）、他方がそれに繋がるピースを持つ確率は4/100で4％。
500ピースが縦25×横20の形の場合で二人ともが最初に縁部分を手にとる場合、隣同士を選ぶ確率は2/85。

このように、残りピースの数と、一方が持つピースに繋がる可能性のある辺の数から簡単に求めることができるでしょう。

No.3 回答者： yasuto07 回答日時： 2014/05/06 12:52

何にも考えなくて、良いのでは、、、最初の2個目で、隣同士の確率は1／498では、、、二個目なら、1／497

並べる以上残りは減るのだから、角を考える必要はないのでは。

No.4 回答者： tanuki4u 回答日時： 2014/05/06 15:19

ジグソーパズルの配列による依存性

最小の　ABCD　の　四つのピースで考える

ジグソーパズルが

ABCD　の並びであるならば

A　を　一人が取れば　もう一人がB　の確率　つまり隣り合う確率は　1/3
B　を　一人が取れば　もう一人がAあるいはC　の確率　つまり隣り合う確率は　2/3
C　を　一人が取れば　もう一人がBあるいはD　の確率　つまり隣り合う確率は　2/3
D　を　一人が取れば　もう一人がC　の確率　つまり隣り合う確率は　1/3

一人目が　A,B,C,Dを取る確率は　それぞれ　1/4 であるから　二人のとるピースが隣り合うのは

(1/4)×(1/3)　＋　(1/4)×(2/3)　＋　(1/4)×(2/3)　＋　(1/4)×(1/3)　＝　(6/12)



AB
CD

の並びであれば

A　を　一人が取れば　もう一人がBあるいはC　の確率　つまり隣り合う確率は　2/3
B　を　一人が取れば　もう一人がAあるいはD　の確率　つまり隣り合う確率は　2/3
C　を　一人が取れば　もう一人がAあるいはD　の確率　つまり隣り合う確率は　2/3
D　を　一人が取れば　もう一人がBあるいはC　の確率　つまり隣り合う確率は　2/3

一人目が　A,B,C,Dを取る確率は　それぞれ　1/4 であるから　二人のとるピースが隣り合うのは

(1/4)×(2/3)　＋　(1/4)×(2/3)　＋　(1/4)×(2/3)　＋　(1/4)×(2/3)　＝　(8/12)

よって、ジグソーパズルの配列が決まらなければ、任意の二つのピースを取り出した時にその二つが隣り合う可能性は一意に決めることが出来ない。

No.5 回答者： redgarbera 回答日時： 2014/05/07 11:27

500個で縦20個、横25個の長方形になると考えましょう。

まず、角に来るのが４個でこれは他の２個と接しています。
すると、Aさんがこの角のピースを取る確率は4/500で、Bさんが残り499個の中からそれに接する２個のどちらかを選ぶ確率は２/499ですから、Aさんが角を取り、Bさんがそれに接するピースを取る確率は4/500×2/499となります。

次に、角を除いた辺の部分にあるピースは18×２＋23×２で82個ありますね。これらは他の３個と接しています。
Aさんがこの辺のピースを選ぶ確率は82/500で、Bさんがそれに接する３個のどちらかを選ぶ確率は3/499ですから、この確率は上と同様の計算をして82/500×3/499になります。

最後に、それ以外のピースが414個あります。これらのピースは他の４個と接しているので、これも同様に計算すると414/500×4/499となります。

この３つを足し合わせたものが答えになりますね。
計算してみたら約0.8％となりました。125回に１回くらい起こるということになりますね。