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【 (1+√3i)^n  が実数となるようなnの値を求めよ 】 という問題で、

r=2 で、
θ=π/3 だから、

★ 1+√3^n = 2^n (cos nπ/3 + i sin nπ/3)  ・・・と変形されています。

これを英語で、modulus argument formと解説があるのですが、

一体ここでは、何をしているのでしょうか?

「複素数の極形式」に直すという方法については勉強したのですが、ここではそういう話でもないようです。

よろしくお願いいたします。 

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A 回答 (5件)

ド・モアブルの定理と呼ばれるものです。


インターネットが使えるのでしたらウィキペディアに記事がありますのでご一読なされれば大丈夫かと思います。

要点をかいつまんで言えば、

1+√3i をまずは角度と長さで表します。極形式というのでしたでしょうか。私はあまりもう名前までは覚えていませんので・・・。
つまりは複素数平面上で 1+√3i を考えますと、実軸上の長さが正の方向に1で、虚軸の正の方向に√3 です。これは三角関数で言えばx軸の正方向に1、y軸の正方向に√3ですので、角度がπ/3とわかります。
ついでに原点から1+√3iまで引いた線分の長さは、ピタゴラスの定理でもわかりますし、よくある直角三角形の比でも2とわかります。

三角関数自体が円の座標を表すために作られたものですので、
x=2cos(π/3)
y = 2cos(π/3)
となります。

これを複素数平面に戻して考えれば、

1+√3i = 2(cos(π/3) + i sin(π/3))

ということになります。しがたって両辺n乗して

(1+√3i) = 2^n (cos(π/3) + i sin(π/3))^n

という形になります。ここで右辺は

1+√3i の 長さである 2 をn乗したものと
1+√3i の 角度を表している (cos(π/3) + i sin(π/3)) をn乗したもの

の積になっています。
前者はつまりは長さが倍々に増えて行くというものです。仮に長さが3だった場合は3倍3倍に増えていきます。
後者は角度がπ/3の回転を表しているので、π/3ごとの回転をn回させることになります。
したがって結果 nπ/3 の回転をさせていることになります。
これを厳密に証明するのがド・モアブルの定理です。

(cos(θ) + i sin(θ))^n = cos(nθ)+i sin(nθ)

今回の問題では sin(nπ/3)=0となれば虚数部分は消えて実数となりますので、答えとしては

n = 3k , k は整数

になるかと思います。
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この回答へのお礼

とても良くわかりました。

ご回答、どうもありがとうございました!

お礼日時:2014/05/24 09:37

>複素数の極形式」に直すという方法については勉強したのですが



極形式と「絶対値と偏角の形式(modulus argument form)」とは同じことの別表現です。

>★ (1+√3)^n = 2^n (cos nπ/3 + i sin nπ/3)  ・・・と変形されています。
>一体ここでは、何をしているのでしょうか?

極形式に直して
 (1+√3)^n=(2^n)e^(i n tan^(√3/1))=(2^n) e^(i nπ/3)
オイラーの公式(オイラーの等式ともいう)
 e^(ix)=cos(x)+i sin(x)
を適用しているだけ。
この変形により
(1+√3)^n を実数部と虚数部に分けているのです。

引き続き、「実数となる条件」として
「虚数部=0」すなわち「sin(nπ/3)=0」を
導びき出そうとしているのです。

 sin(nπ/3)=0
を解けば
 nπ/3=kπ (kは任意の整数)
 ∴ n=3k (kは任意の整数)  ← (答)になります。
 (つまり n=0,±3,±6,±9,±12, …)
が得られます。
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この回答へのお礼

すごくわかりやすいご説明をありがとうございました。

オイラーの公式を一度勉強したのですが、まだ こういうところで出てきませんでした。

すっきりしました。

ご回答、どうもありがとうございました!

お礼日時:2014/05/24 09:38

すみません、No2ですが、途中



y = 2sin (π/3)

と書くべきところを間違えてcosにしてしまいました。訂正です。
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この回答へのお礼

了解です。

ご丁寧に、ありがとうございます! 

お礼日時:2014/05/24 02:13

"modulus-argument form" は日本語で言う「(複素数の)極形式」の意味で、"polar form" の別の言い方です。


ここでは z = r (cos θ + i sin θ) の形にすることを言っています。
ちなみに modulus: 絶対値、argument: 偏角 です。
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この回答へのお礼

modulus argument formを、インターネットで調べても、どうしても日本語が出てこなかったので、助かりました!

ご回答、どうもありがとうございました!

お礼日時:2014/05/24 02:13

表題について、


√3i が、(√3)*i(虚数) を示しているのであれば、
(1+√3i)^n =(a+b)^n と於いて、このとき b=i(虚数)として、n=1以上の正数とすれば、(a+b)^n に於いて、b^(奇数)の係数、すなわち虚数項が必ず残ります。
よって、bを虚数とした時の、(a+b)^nが実数となる場合は存在しません。
「複素数の極形式」に直しても「i」成分は消えない、と言うことになります。

外していたらごめんなさい。

####
> r=2 で、θ=π/3 だから、
これは、閲覧者が推定し得ないところの、特殊条件下ですよね。
また、ご質問初頭の「 (1+√3i)^n 」と、「★ 1+√3^n」とは式が違いますね。??
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この回答へのお礼

ご質問初頭の「 (1+√3i)^n 」と、「★ 1+√3^n」とは式が違いますね。??

  → ここは、解説が間違えているのか、それとも、このように変化するものなのかについて、迷っていました。 やはり、問題の間違えだと考えて良さそうですね・・・。
 
ご回答、どうもありがとうございました!

お礼日時:2014/05/24 09:36

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Qなぜ物理は独学が不可能なんですか?

こちら(http://d.hatena.ne.jp/nimsel/20080703)のサイトに、
「医学部・東大・京大を志望する場合、0から二次レベルまでの物理の独学は不可能に近いです。」
との記述があります。

さらにこちら(http://ja.wikibooks.org/wiki/%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E5%AF%BE%E7%AD%96)のページにも、
「独学はほぼ不可能だと思われる」
と書かれています。

しかしながら受験勉強法研究家として有名な(しかし自分はあまり参考にはしていませんが。)
和田秀樹氏は、本の中で、「橋本の物理をはじめからていねいに」という参考書について、
「下手な教師よりよっぽどわかりやすい。今まで物理が独学に不向きと言われていたのはこのような参考書がなかったから。」
というようなコメントをしています。

ということは、参考書で授業と同じような理解ができるのではないでしょうか?

私は恥ずかしながら、落ちこぼれからほぼ独学で旧帝大医学部に行こうと思っています。
高2から物理の授業が学校で始まる予定でしたが、丁度高2から家庭の事情により、高校には通っていませんので、ほぼ独学というわけです。
数学はちっぽけな個人塾に行ってるので、まあ完全独学というわけではないので、他の科目は努力次第で目処がたちそうなのですが、物理は方々で、「独学は無理。国立医学部となるとなおさら無理。」という声が色々なサイトで目に入り、「ああやっぱり(高レベルまで行くとなると)独学なんて無理なのかなぁ。」と落胆と失望を何回か繰り返しています。

(といっても、そんな気持ちからかやるべきことをやる前からそんなこと思ってます。自分ではあまり100%無理なんて思いはないのですが、外部情報から無理だと思わせられている。だから無理なのかなぁと心配になりやる気が出ない。自分に都合良く言わせてもらえばそんな状態でいます。
他の科目は勉強してますが、物理に関しては、「独学は無理」という言葉が頭に浮かび、生物にしたほうがいいかなぁなどと躊躇して勉強する気になれません。ただ生物より物理のが、現代医療はMRIとかあるし、大切なのでなるべく物理を学びたいのです。大学に入ってから苦労しそうだし。
それで実際の所はどうなんだろうと質問いたしました。)


そういうわけで、例として上に挙げたようなサイトで言われる、
「物理は独学は不可能」
という言葉の理由についてお聞きしたいです。

それと、旧帝大医学部レベルまで物理を独学で引き上げるのは、正直なところ無理なのかという点も意見を下さい。因みに自分は理解力はいいほうではありません。文系脳に近いです。
数学は人より時間をかけてできるようになった方だと思います。
時間は1年半ですね。最悪でも1浪(2年半)までで受かりたいです。

もし肯定的な意見をお持ちの方がいたら、勉強を進めていく上でアドバイスもいただけますでしょうか。

ちなみに「旧帝大」と付けるわけは、ある医学部の方が書いた本に、
「臨床か開業なら関係ないが、それと平行して研究、あるいは専門の研究医になるならやはり旧帝大系でないと厳しいというのが実情。」
と書いてあったからです。
医学の研究にも興味があるので、そちらの方に有利な旧帝大医に是非とも受かりたいのです。。

真剣に悩んでいます。
ご高見お願いいたします。

こちら(http://d.hatena.ne.jp/nimsel/20080703)のサイトに、
「医学部・東大・京大を志望する場合、0から二次レベルまでの物理の独学は不可能に近いです。」
との記述があります。

さらにこちら(http://ja.wikibooks.org/wiki/%E4%BA%AC%E5%A4%A7%E5%AF%BE%E7%AD%96)のページにも、
「独学はほぼ不可能だと思われる」
と書かれています。

しかしながら受験勉強法研究家として有名な(しかし自分はあまり参考にはしていませんが。)
和田秀樹氏は、本の中で、「橋本の物理をはじめからていねいに...続きを読む

Aベストアンサー

数学であれ、化学であれ、生物であれ、各科目には、「その科目の学び方」というものがあると思います。

物理の場合は、
「物理とは何を目指しているのか?」
「物理は、どうやって学んでいったらよいのか?」
といったところで、つまづく人が、他の科目よりも多いように思います。

物理には、数式が登場しますが、同時に、「数式の解釈」というものが付きまといます。

言い換えれば、「自然現象のイメージと数式が結びつく」ということになりましょうか。

これがうまくいかないと、公式を暗記しても、理解できないのだと思います。

そして、この部分に、物理独特の考え方がたくさん出てきて、独学を妨げているように思います。

予備校であれ、参考書であれ、「自然現象と数式とが結びつく」という点を詳しく説明してくれるものがあれば、独学が可能だと思います。

あくまでも個人的な意見なので、お役に立つかどうか分かりませんが、自分自身が物理を学んだときに感じた難しさを思い出して、書かせていただきました。

参考サイトは、考え方の部分を説明してくれています。

参考URL:http://tahara-phys.net,http://webkouza.com

数学であれ、化学であれ、生物であれ、各科目には、「その科目の学び方」というものがあると思います。

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下記の問題の解き方が分からないので教えて下さい。お願いします。

(1)ド・モアブルの定理を用いて(-1+√3i)^6を計算しなさい。

Aベストアンサー

-1+√3iを図で表すと下図の通りで、60度角のある直角三角形の、下の図で赤丸の位置。

これをcos、sinで表すと
-1+√3i= 2(sos120° + isin120°)

ド・モアブルの定理を使うと
(-1+√3i)^6 =2^6×(sos120° + isin120°)^6

=2^6×(sos120°×6 + isin120°×6)
=2^6×(sos720° + isin720°)
=2^6×(1 + 0)
=2^6
=64


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