「99.9％の確率で陽性」

Question

ゆうべたまたまＮＨＫの「ハードナッツ」というドラマを見ました。
ある刑事（高良健吾）が「99.9％の確率で」、ある病気（仮に「xdr5」）だと診断された。
xdr5陽性の人は１万人に１人。その１人は100％死ぬ。
「オレは99.9％の確率で死ぬ。再検査？　意味ねえだろ、99.9％だぜ」と、
健吾は絶望する。が、天才数学ガール（橋本愛）が言うのです。
「それ、計算間違ってますよ。再検査した方がいいですよ」

僕にはいまいち理解できなかったのですが、ええと、たぶん、

１）診断の精度が100％であれば、陽性判定が出るのは１万人に１人。
２）実際の検査の精度は99.9％なので、１万人検査すると陽性判定が10人出る。
３）その10人のうち、本当に陽性なのは１人だけ。
４）つまり、健吾さんが陽性である確率は99.9％ではなく、10％。

・・・という感じ。この理屈は、正しいですか？
「精度100％なら１万人に１人。実際は99.9％なので、１万人あたり10人」
というのは、式にすると「１万 × 0.001 ×１＝ 10」でしょうか。
だとすると、以下の理屈も正しいのでしょうか。

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人類の10人に１人が「cft６」という病に罹っています。
波平は、99.9％の確率でcft６だと診断されました。
診断の精度が100％であれば、陽性判定が出るのは１万人あたり1000人のはずです。
実際の検査の精度は99.9％なので、１万人検査すると陽性判定が１万人出ます。
つまり全員。つまりこの検査は全く無意味。
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99.9％もの精度の検査が「全く無意味」というのは、
直観的には納得しにくいのですが。

tknakamuri · Accepted Answer

前にも出た話題ですが、「精度」の意味があいまいです。

精度=特異度のことなら、大体正しいです。

特異度=検査に陰性で病気でない人の数/病気でない人の数
感度=検査に陽性で病気の人の数/病気の人の数。

つまり1000人に一人の割合を、検査によって10人に一人までしぼり込んだということ。
＃正確には確率はおよそ10%です。

精度=陽性的中率=検査に陽性で病気の人の数/検査に陽性の人の数

が 99.9% なら、再検査してもほぼ無意味でしょう。

私が医療現場で直接確認した限りでは(といっても医者一人ですが・・・)
医者が患者に言う検査精度=陽性適中率(PPV)なので、間違いということになります。

いずれにしてもあいまいです。

ambriel · Answer

「精度」の意味が「陰性の人も陽性の人も含めた総体の中から実際に発症した人を当てる確率」ならそうでしょうね…。
このへんの言葉の定義を決めないとなんともいえません。

ただ、後者の問題 (cft6) の違和感への回答としては、普通「精度」というと「陽性の人だけを集めて、実際に発症した人を当てる確率」と感じるからではないでしょうか。病気の「致死率」などはこっち寄りの考え方 (病気の人だけを集めて、死亡した人を当てる率) ですし。
この場合、実際に発病する人が10000人中何人いるかに関わらず、陽性1000人を集めた場合にそのうち999人は発病します。

DJ-Potato · Answer

99.9%の確率で陽性ということは、一次検査で陽性の人の99.9%は二次検査で陽性という意味だと思います。

スクリーニングと精密検査の問題では、感度と特異度という問題があり、普通に精度と言った時にどっちを指しているのか微妙ですが。

天才数学ガールが間違っているような…

Tacosan · Answer

いちおうかくにん.

「99,9 % の確率」とか「精度 99.9 %」とかいうのは
・陽性の人に対して「陽性」と出るのが 99.9 %
・陰性の人に対して「陰性」と出るのが 99.9 %
の両方である, ということでいいですか?

tknakamuri · Answer

＞1000人に一人の割合を、検査によって10人に一人までしぼり込んだということ。

すいませんタイポです。1000人-> 1万人

tknakamuri · Answer

ctf6ですが(^^;

特異度=99.9%、感度=99.9%  で1万人を
検査すると、真の病人数は千だから

X=陽性で病気
y=陽性で病気ではない
z=陰性で病気
v=陰性で病気ではない

とすると

×+Z=1000
y+V=9000
x/(X十z)=0.999
v/(y+v)=0.999

これを解くと

X=999
y=9
z=1
v=8991

陽生的中率はx/(×+y)=0.991

つまり病気の人の割合が大きいときは陽性的中率が格段に上ります。

kamiyasiro · Answer

この質問、昨年の10月27日にBSで放送された直後にも出ましたね。

数学ガールの説明した「難病の罹患率」は、ベイズの問題です。
事前分布は、罹患している確率で、１万人に一人の確率です。
誤判定の確率(1)罹患を正しく発見できる確率は番組中から99.9％ですので、
(2)その逆である健常者を見誤る確率はその排反とします。

周辺確率＝事前分布×条件付き確率（ここでは陽性判定される確率）
事後確率＝周辺確率÷周辺確率の合計

状態＿＿事前分布＿＿陽性判定される確率＿＿周辺確率＿＿＿＿事後確率
健常＿＿0.9999＿＿＿＿＿＿0.001＿＿＿＿0.0009999＿＿＿＿0.90917
罹患＿＿0.0001＿＿＿＿＿＿0.999＿＿＿＿0.0000999＿＿＿＿0.09083
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿周辺確率の合計＿0.0010998

正解は、状態が罹患のときの事後確率ですから、
「あなたが罹患している確率は、9.08％しかない」であり、
くるみの言う10％というのは当たらずとも遠からずですが、数学ガールとしては失格。

10人に一人の場合は、事前分布を変更するだけです。
罹患率は１万人にひとりですが、検査を受けたのは１万人全てではないはずです。
そこで、ご質問者のように
『症状が疑われ検査を受けた人10人のうち、1人が罹患している』としてみましょう。

状態＿＿事前分布＿＿陽性判定される確率＿＿周辺確率＿＿＿＿事後確率
健康＿＿＿0.9＿＿＿＿＿＿0.001＿＿＿＿＿＿0.0009＿＿＿＿0.00893
罹患＿＿＿0.1＿＿＿＿＿＿0.999＿＿＿＿＿＿0.0999＿＿＿＿0.99107
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿周辺確率の合計＿0.1008

すると、患者が罹患している可能性は99.1％となります。
いやはや、この罹患率は悲観すべき値です。でもこれが真の姿です。
数学ガールは優しさで嘘を付いたのでしょうか。だとしたら可愛いです。。。

たぶん、脚本家が無知なだけと思います。

tknakamuri · Answer

>その逆である健常者を見誤る確率はその排反とします。

この仮定は検査では成り立ちませんので、
陽性的中率は番組の2っの数字だけからは
正確には計算できません。

tengenseki · Answer

＞「99.9％の確率で」、ある病気（仮に「xdr5」）だと診断された。

その刑事にその診断方法を莫大な回数行えば。平均的に
１０００回中９９９回陽性と出ます。

＞１）診断の精度が100％であれば、陽性判定が出るのは１万人
　　に１人。

「陽性判定が出るのは１万人に１人」と統計的に確立されている
のなら、その確立を導いた診断の精度が100％でなく95％でも
かまいません。

＞２）実際の検査の精度は99.9％なので、１万人検査すると陽性
　　判定が10人出る。

「陽性判定が出るのは１万人に１人」ですから、１０００万人が
その検査を受けたら、１０００人が陽性と出る確率が９９．９％
ということです。一回目の陽性が１００１人、２回目が９９９人とか。

＞天才数学ガール（橋本愛）が言うのです。
＞「それ、計算間違ってますよ。再検査した方がいいですよ」

刑事は何も計算していません。診断精度が９９．９％の検査で
陽性だと言われただけです。
「計算間違ってますよ」と天才が言うからには、あなたのドラマの
説明に不足はありませんか。

上記説明でお分かりになったと思いますので、波平に関しては
回答省略します。

tknakamuri · Answer

>「陽性判定が出るのは１万人に１人」ですから、１０００万人が
>その検査を受けたら、１０００人が陽性と出る確率が９９．９％
>ということです。

原作を確認してみましたが、検査精度 99.9% となっているだけで、
確率が 99.9% とは言ってないですね。

正診率=(陽性で疾患ありの数 + 陰性で疾患なしの数)/検査総数　かも。

とすれば、まあ、陽性的中率は 10%程度です。

「99.9％の確率で陽性」

「精度」の意味が「陰性の人も陽性の人も含めた総体の中から実際に発症した人を当てる確率」ならそうでしょうね…。