因数分解

(x＾3)＋(y＾3)＋(z＾3)-(x＋y＋z)＾3を因数分解する方法がわかりません。

[ア]　a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 -ab + b^2)
[イ]　a^3 - b ^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
より
(与式)
= (x + y)(x^2 -xy + y^2) + {z - (x+y+z)} {z^2 + z(x+y+z) + (x+y+z)^2}
までは考えたのですが難しいです。

おしえてください

No.3 ベストアンサー 回答者： KENZOU 回答日時： 2004/05/22 17:14

因数分解の第一手は結構直感にたよる面があると思います（←練習により磨かれる。

定石を覚えるという手もある）。ということで与式を見ると(x+y+z)^3を展開してやれば3乗の項がすべて消えるので何かうまくいくような気がします。早速実行すると
x^3+y^3+z^3-(x+y+z)^3
=x^3+y^3+z^3-(x^3+y^3+z^3+3x^2y+3x^2z
+3xy^2+6xyz+3xz^2+3y^2z+3yz^2)
=-3(x^2y+x^2z+xy^2+2xyz+xz^2+y^2z+yz^2)
=-3{(y+z)x^2+(y^2+2yz+z^2)x+yz(y+z)}
=-3{(y+z)x^2+(y+z)^2+yz(y+z)}
=-3(y+z){x^2+(y+z)x+yz}
=-3(y+z)(x+y)(x+z)
=-3(x+y)(y+z)(z+x) ←かっこよく並べ替えただけ。
となって最初の目論見が成功しました。
このサイトで因数分解の多くの質問がされていますので、その回答をご覧になって定石をマスターしてください。

No.2 回答者： noname#17965 回答日時： 2004/05/22 17:12

（　）を全部展開して整理すると

-3(x^2y+xy^2+x^2z+2xyz+y^2z+xz^2+yz^2}
=-3{(y+z)x^2+(y+z)^2x+yz(y+z)}・・ｘのべき乗で整理
=-3(y+z){x^2+(y+z)x+yz}・・・・・・y+zでくくり出す
=-3(y+z)(x+y)(x+z)・・・・・・・・・{ }を因数分解
=-3(x+y)(y+z)(z+x)

チカラ技で解きました。ア、イの式は使いませんでした。

No.1 回答者： noname#6715 回答日時： 2004/05/22 17:07

？？

{z - (x+y+z)}=-(x+y)だから
与式全体を(x+y)でくくれるのでは？