数学III 複素数 絶対値

｜ｚ+１｜=２｜ｚ－２｜を満たす複素数ｚについて、｜ｚ－３｜を求めよ。
　
ｚｚ-3(z+z)+5=０→(ｚ－３)(ｚ－３)=４　　

上記に何が起こったのか分かりません。　

丁寧に教えてください。　　　注、ｚ（ぜっとバー）の打ち込み方がわからないのでｚのままにしてあります。

No.4 ベストアンサー 回答者： info222_ 回答日時： 2014/07/24 20:08

z の共役複素数を z~ と書くことにします。

|ｚ+1| = 2|ｚ-2|

２乗

|z+1|^2 = 4 |z-2|^2

ここで

|z+1|^2 = (z+1) (z+1)~ = (z+1) (z~+1) = z z~+ (z+z~) +1
4 |z-2|^2 = 4 (z-2) (z-2)~ = 4 (z-2) (z~-2) = 4 z z~ -8 (z+z~) +16

なので

z z~+ (z+z~) +1 = 4 z z~ -8 (z+z~) +16

移項
3 z z~-9(z + z~) +15 = 0

３で割って
z z~ -3(z +z~) + 5 = 0

２乗を作るための移項
z z~ -3(z +z~) + 9 = 4

因数分解
(z-3) (z~-3)=4

(z-3) (z-3)~=4

|z-3|^2=4

∴|z-3|=2　…（答）

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2014/07/24 20:38

No.3 回答者： 178-tall 回答日時： 2014/07/24 19:15

z の共役を z~ と記すと、|z| = √(zz~) と書けそう…。

問式の左辺は、
　|z+1| = √[ (z+1)(z~+1) ] = √(zz~+z+z~+1)　( = √L )
右辺は、
　2|z-2| = 2*√[ (z-2)(z~-2) ] = 2*√(zz~-2z-2z~+4)　( = √R )

題意は、√L = √R つまり √L - √R = 0 らしいので、
　√L - √R = (L-R)/{ √L + √R} = 0
つまり ( √L≠ - √R として) 、
　L-R = (zz~+z+z~+1) - 4(zz~-2z-2z~+4)
　= -3(zz~-3z-3z~+5) = 0

…になる、というのでしょうネ。
あとは、道なり。

　　

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2014/07/24 20:39

No.2 回答者： transcendental 回答日時： 2014/07/24 17:30

｜ｚ＋１｜＝２｜ｚ－２｜　を平方します。

｜ｚ＋１｜＾２＝４｜ｚ－２｜＾２　・・・（＊）

ここで、ｚの共役複素数をｚ゜と書くことにします。
ｚ・ｚ゜＝｜ｚ｜ですから（＊）式は、
（ｚ＋１）（ｚ＋１）゜＝４（ｚ－２）（ｚ－２）゜
また、（α＋β）゜＝α゜＋β゜、（実数）゜＝（その数）ですから上式は、
（ｚ＋１）（ｚ゜＋１）＝４（ｚ－２）（ｚ゜ー２）　⇔　ｚｚ゜ー３（ｚ＋ｚ゜）＋５＝０　⇔　（ｚ－３）（ｚ゜ー３）－９＋５＝０
となります。

この回答への補足

質問の仕方が悪かったです。

ｚｚ-3(z+z)+5=０→(ｚ－３)(ｚ－３)=４　これがよくわからないです。と質問したかった。

補足日時：2014/07/24 19:16

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2014/07/24 20:39

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/07/24 15:59

2乗したんじゃない?

この回答への補足

質問の仕方が悪かったです。

ｚｚ-3(z+z)+5=０→(ｚ－３)(ｚ－３)=４　これがよくわからないです。と質問したかった。

補足日時：2014/07/24 19:16

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2014/07/24 20:38