第一世代と第二世代の最適配分について

ミクロ経済学について質問です。
第１世代と第２世代の資源配分について、です。

資源qが１００しか存在しないと仮定します。
この資源qの限界便益はMB＝１００－qであり、限界費用はMC＝２０とする。
この時、各世代MB=MCとなり、q=８０となる。
二世代間で１６０となるが、ここでは資源qは１００しか存在しない。
この時、どのような資源配分を行えばよいか答えよ。
ただし、割引率は５０％である。

ちなみに答えは第一世代が５６、第二世代が４４となっています。

しかし、その計算方法が分かりません。

教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： statecollege 回答日時： 2014/07/29 20:04

qを資源というより、ある財の生産と考えたほうがわかりやすい。

ｑを生産するのに費用がかかると仮定されているからだ（限界費用が２０で一定）。問題は全体の生産が100という一定値に与えられているとき、合計１００の生産量を第1世代と第二世代にいくらずつに分けたらよいかという問題だ。いま、第1世代の生産量をｘとしたとき、第1世代の、生産量ｘを生産し、消費することから得られる純便益（総余剰）TS(ｘ）はいくらになるか？TS(ｘ）は便益曲線MB(ｑ）＝１00－ｑ、限界費用曲線MC = 20、そして垂直線q＝ｘで囲まれる台形の面積によって与えられるから、

　　　　TS(ｘ）= (160 - x)x/2

となる(台形の面積の公式を用いて確かめよ！）。同様にして、第2世代の生産量をｙとしたとき、第2世代が生産量ｙを生産し、消費することから得る純便益(総余剰）TS(ｙ）は、割り引く前には
　　　　
　　　　TS(y) = (160-y)y/2

である。ところが、仮定により、 x + y = 100であることに注意し、第2世代の純便益を割引率50%で割り引くと、割引後の第1世代と第2世代の純便益合計は
　　　　
TS(x) + TS(100-x)/1.5 = (160-x)x/2 + [(160-(100-x))(100-x)/2]/1.5

= (160-x)x/2 + (60+x)(100-x)/3

となる。ｘの値を選択することで割引後の純便益合計を最大化するためには、右辺をｘについて最大化すればよい。つまり、右辺をｘについて微分して０とおくと、x = 56を得る（確かめよ！） よって、ｙ＝100 - 56 = 44となる。第1世代と第2世代にｑをそれぞれ56と４４に配分すると、両世代の割引された純便益合計は最大化されるのだ。