クモの巣の調整過程について質問させていただきたいのですが、傾きをそのまま比較した場合と傾きの絶対値を

クモの巣の調整過程について質問させていただきたいのですが、傾きをそのまま比較した場合と傾きの絶対値を比較した時の違いを知りたいのですが分かるかたおねがいします。

No.8 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/11/07 16:55

その後、投資乗数等について質問をしていないようですが、解決したんですか？

最近、投資乗数と均衡財政乗数について回答しました。これ
　http://oshiete.goo.ne.jp/qa/9491542.html
を見てください。あなたの質問と関係があるかもしれませんので、参考まで。

この回答へのお礼

ありがとうございます(^^)
参考にさせていただきます！

お礼日時：2016/11/08 11:28

No.7 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/11/03 05:00

>いま、乗数論をやっているのですが投資乗数と政府支出乗数は1/1-c1となるのに対して租税乗数は-c/1-c1になるのはなぜでしょう、、、

それはまったく別の問題です。質問を新たに投稿してください。ただし、その種の問題は過去に何度も出ていますよ。私も何度も回答しています。

No.6 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/10/31 03:40

まだ納得できていないのですか？もしかしたら、「生」の数字と絶対値との区別がわからない？

以下はNo.5への注です。

例をあげます。数直線上の数値をいくつかを左から右へ（小さい値から大きい値へと）とってみます。
-100, -5,-1, -0.3, 0, 0.2, 0.5, 1, 6, 150,・・・
これらの数字の絶対値は
100, 5, 1, 0.3, 0, 0.2, 0.5, 1, 6, 150, ・・・
となります。つまり、負の数字はマイナスをとればよいし、正の数字はそのままです。
・いま、ｘをある生の数字だとすると、絶対値はその数字をlxlと、xを棒で囲んで表わします。よって、
l-100l = 100, l-5l = 5, ・・・, l0l = 0, l0.2l = 0.2,・・・
となります。
・負の数字は絶対値をとると、大きさが逆転します。「生」では大きさの順序は
-100 < -5 < -1 <-0.3 < 0
ですが、それらの絶対値は
100 > 5 > 1 > 0.3 >0
と、「生」では一番小さい数字であった-100は絶対値では一番大きくなります。
・いま、ｘが、-100, -5のように、-1より小さい（負の）数字、つまり、x < -1だとすると、ｘの絶対値であるlxlは１より大きく、lxl > 1 となることはよいでしょうか？上の数直線の数字とそれを絶対値に変換した数字をくらべてみてください。
・ｘは負の数字だが、-0.3のように-1より大きい場合は、xの絶対値であるlxlは１より小さく、lxl<1となることはよいでしょうか？
・したがって、x < -1あるいはx > 1ならば、lxl >1であるし、-1 < x < 1ならば、lxl < 1となるのです。

この回答へのお礼

すみません。合宿で返信が遅れました。 まだ基礎をわからないうちにこの分野から始めたのが間違いだったのかもしれないと思い、マクロをかじってみることにしました。いま、乗数論をやっているのですが投資乗数と政府支出乗数は1/1-c1となるのに対して租税乗数は-c/1-c1になるのはなぜでしょう、、、

お礼日時：2016/11/02 23:43

No.5 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/10/29 05:58

もう少し基本に戻りましょう。

いま数列{x(t), t=0,1,2,・・・｝
x(0), x(1), x(2), ・・・, x(t),・・・
が
x(1)= ax(0), x(2)=ax(1), ・・・, x(t) =ax(t-1),・・・
という関係にあったとき、この数列を等比数列と呼び、aを等比係数（定数）といいます。このとき、
x(2)=ax(1)= a[ax(0)] = a^2・x(0)
x(3)=ax(2) = a[a^2・x(0)] = a^3・x(0)
・・・
x(t) = ax(t-1) = ・・・= a^t・x(0)
・・・
と表わされることはよいでしょうか？この数列はｔをどんどん大きくしていったら、どうなるかは、aの値によって異なることは理解できるでしょうか？いま初期値x(0)は正の値とし、aの値が２のような１より大きい値であったら、
x(t) = 2^t・x(0)
となりますから、tがどんどん大きくなり、無限大にいくと、x(t)の値も、x(1)=2x(0), x(2)=4x(0), x(3)= 8x(0),・・・,と
どんどん大きくなり、無限大にいくことはわかるでしょうか？つまり、数列｛x(t)}は無限大に発散するのです。では、aの値が1/3のような１より小さい値だったら、どうなるでしょうか？
x(t) = (1/3)^t・x(0)
より、ｔがどんどん大きくなると、(1/3)^t の部分は、1/3, 1/9, 1/27,・・・とどんどん小さくなり、tが無限大にいくと、０に収束することがわかります。では、aの値が-2のような、-1より小さい値だったらどうなるか？
x(1) = (-2)x(0), x(2) =(-2)^2・x(0) = 4x(0), x(3)= (-8)x(0),・・・とプラスとマイナスの値を交互にとりながら、絶対値ではどんどんおおきくなり、無限大に発散することがわかるでしょう。
では、aの値が-1/3のように、負の値だが-1よりは大きい値だったらどうなるか？このときは、数列{x(t)}は
x(1)=(-1/3)x(0), x(2)= (1/9)x(0), x(3) = (-1/27)x(0),・・・というふうに、tがどんどん大きな値をとっていくと、プラスとマイナスの値を交互にとりながら、絶対値としてどんどん小さくなり、０に収束することがわかるでしょう。
以上をまとめる（一般化する）と、等比係数aである等比数列は

・-1 < a < 1なら、（０に）収束する。
・a < -1あるいはa > 1なら、発散する。

とまとめることができる。収束と発散については、aの値がマイナスであるか、プラスであるかは関係ありません！絶対値の概念を使うともっと簡潔に表現できます。

・-1 < a <1 ⇔ 絶対値a < 1
・a <-1あるいはa >1 ⇔ 絶対値a > 1

ですから、上のステートメントは

・絶対値a < 1なら、（０に）収束する
・絶対値a > 1なら、発散する

と言い換えることができます。
なお、回答No1で現れる価格列p(t)は等比数列よりもう少し複雑な
x(t) = ax(t-1) + b
のような形をしていますが、基本は同じです。収束、発散はaの値に支配され、数列が収束する値が０ではないことを除けば、上とまったく同じステートメントが成り立ちます。

No.4 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/10/27 19:44

>c/aがマイナスなら時間経路が収束し均衡が安定で、逆にプラスなら時間経路が発散し均衡が不安定になる。

これで間違ってませんか？

えー！？間違っています！！そんなこと言ってませんよ。私の回答No2の最後のところで、結論を要約したステートメントがありますので、よく読んでください。念のため再度掲げておきます。

「私の回答No1をもう一度要約すると、c/a = (1/a)/(1/c)が-1と1の間の値をとるなら、つまりc/aが絶対値で１より小さい値をとるなら、収束つまり「均衡は安定」、c/aが-1より小さいか、１より大きい値をとるなる、つまり、c/aが絶対値で１より大きい値をとるなら、発散、つまり「均衡は不安定」ということになる。」

上のあなたのまとめとの違いがわかるでしょうか？なお、もしかしたら勘違いしているかもしれないので、確認しておきますが、「-1より小さい」値とは、-1.5, -2, -6, -100のような値のこと、それらの絶対値は1.5, 2, 6, 100となる。

質問があれば遠慮なく訊いてください。

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/10/26 18:36

No2はそのままで回答として正しいのですが、あなたの訊きたいことは別にあったかもしれないので、あなたが理解できるようにトライしてみましょう。

あなたの追加質問のポイントは、「。(1)は安定で(2)(3)は不安定という回答なのですが(1)(2)はそのままの傾きを比較するか絶対値の傾きを比較するかの違いで安定か不安定か分かれるという点が理解できません。」ということにあるらしい。
No2であげた例を見てください。
(1)は、a = -2, c = -1　あるいは、グラフ上の傾き（逆需要曲線、逆供給曲線の傾き）に直せば、1/a = -1/2, 1/c = -1となり、傾きの「生の」値としては、1/a = -1/2 > -1 = 1/cですから、需要曲線の傾きのほうが供給曲線より大きいのですが、絶対値をとると、1/aの絶対値＝1/2＜１＝1/cの絶対値と、需要曲線のほうが供給曲線より小さい。絶対値で小さいというのはどういうことかというと、需要曲線のほうが供給曲線よりも傾斜が緩やかである、ということです。
(2)についても、私のあげた例を見てください。(2)の場合というのは、(1)とは逆に、a = -1, c = -2のような場合、つまり、グラフの傾きでいうと、1/a = -1, 1/c = -1/2であり、傾きの「生の」値でみると、1/a = -1 < -1/2 = 1/cと、需要曲線の傾きほうが供給曲線の傾きより小さい。しかし、絶対値では、1/aの絶対値＝１ > 1/2 = 1/cの絶対値となる。つまり、グラフ的には、需要曲線のほうが供給曲線よりも傾斜が大きい、急勾配だということです。
(1)では、傾きの「生の」値で与えられ、（２）では絶対値で与えられている。収束する（均衡が安定である）か、それとも発散する（均衡が不安定である）かを知るためには、需要曲線と供給曲線の傾きの比が「絶対値」で1より小さいか、大きいかに依存するわけですから、問題の傾きが一方は「生の」値で、他方は絶対値で与えられたときは、生の値のほう(つまり、(1)のほう）を絶対値に直して、(2)と比較してみればいいのです。絶対値に直して比べてみれば、需要曲線と供給曲線の傾きが(1)と(2)とでは正反対であり、したがって(1)は「安定」、(2)は「不安定」で少しもおかしくないのです。No2の回答であげた例をよく検討してください。

この回答へのお礼

返信が遅くなり申し訳ございません。なんとか理解できるようになってきました。c/aがマイナスなら時間経路が収束し均衡が安定で、逆にプラスなら時間経路が発散し均衡が不安定になる。これで間違ってませんか？

お礼日時：2016/10/27 18:55

No.2 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/10/26 06:16

初学者なのにいきなり動学的問題（簡単にいうと時間が明示的に含まれるモデル）にはいってしまったので難しいですよね。

「均衡が（動学的に）安定」とは、No1の私の回答に即していうと、（＊＊）に示される均衡価格が時間とともにある一定値に収束することをいい、「不安定」とは均衡価格が時間とともに発散することをいいます。あなたの追加質問を引用しておきましょう。


(1)需要曲線と供給曲線がともに右下がりであり、需要曲線の傾きの値が供給曲線の傾きの値よりも大きい場合、市場の調整過程がクモの巣の調整過程をとるとすれば、均衡は安定であるか不安定であるか？という問題と(2)需要曲線と供給曲線がともに右下がりであり、需要曲線の傾きの絶対値が供給曲線の傾きの絶対値よりも大きい場合、市場の調整過程がクモの巣の調整過程をとるもすれば、均衡は安定であるか不安定であるか？という問題と(3)需要曲線が右下がりで供給曲線が右上がりであり、需要曲線の傾きの絶対値が供給曲線の傾きの絶対値よりも大きい場合、市場の調整過程がクモの巣の調整過程をとるとするならば、均衡は安定であるか不安定であるか？という3つの問題です。(1)は安定で(2)(3)は不安定という回答なのですが(1)(2)はそのままの傾きを比較するか絶対値の傾きを比較するかの違いで安定か不安定か分かれるという点が理解できません。

まず、(1)以下で「需要曲線」の傾きと「供給曲線」の傾きというのは、あなたの「ワルラスとマーシャルの安定条件」云々の質問の回答で説明したように、本来の「需要曲線」の傾きと本来の「供給曲線」の傾きのことを言っているのか、グラフに描かれたそれのことを指しているのか判断することが重要です。No１の回答でのモデルを使うと、前者はa, cの値だし、後者なら1/a,1/cのことです。ここでは、後者、つまり「逆」需要・供給曲線の傾きを意味しているようです。したがって、(1)について回答No1のモデルに翻訳すると、「1/a < 0,1/c < 0で、かつ1/a > 1/c」ですから、c/a <1(なぜ？たとえば、a = -2, c = -1のような例で考えてください）となり、（＊＊）は「収束する」、つまり、「均衡は安定的」ということになる。
(2)については、同様に私の回答No1のモデルに翻訳すると、1/a < 0, 1/c <0で、かつ 1/a <1/ cですから、c/a > 1（たとえば、a = -1, c = -2のような例を考えてください）となり、発散する、つまり均衡は不安定です。
(3)についは、1/a < 0, 1/c >0で、かつ c/a = (1/a)/(1/c) < -1(たとえば、a = -１, c = ２のような例を考えてください）となり、発散する、つまり均衡は不安定です。
私の回答No1をもう一度要約すると、c/a = (1/a)/(1/c)が-1と1の間の値をとるなら、つまりc/aが絶対値で１より小さい値をとるなら、収束つまり「均衡は安定」、c/aが-1より小さいか、１より大きい値をとるなる、つまり、c/aが絶対値で１より大きい値をとるなら、発散、つまり「均衡は不安定」ということになる。これでもわかりませんか？

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/10/25 19:52

蜘蛛の巣調整過程とは、需要は今期の価格に依存するが、供給が前期の価格に依存するときにあらわれる現象。

少し数学を使ってもいいでしょうか？いま、簡単化のため、需要も供給も１次式であらわされ、それぞれ、
D(t) = ap(t) + b
S(t) = cp(t-1) + d
と書けるとしよう。ここで、D(t)=t期の需要量、S(t)=t期の供給量、p(t)＝t期の価格、したがって、p(t-1)＝t-1期の価格であり、a,b,c,dはパラメータ(定数）であるとする。均衡は市場がクリアーするD(t)=S(t)のとき起こるから、市場をクリアする均衡価格の時間経路は

ap(t) + b = cp(t-1) + d 　　⇒　p(t) = (c/a)p(t-1) + (d-b)/a　　　　　　　　　（＊）

と、１階の差分方程式であらわされる。この差分方程式の解は

p(t) = [p(0) - (d - b)/(a - c)](c/a)^t + (d - b)/(a - c)　　　　　　　　　　　　　（＊＊）　　　　

となる（解き方を知らなかったら、結果がこうなることを受け入れてください）。つまり、価格p(t)は時間とともに、（＊＊）であらわされる時間経路を辿るのです。ここで、重要なのがc/a、(本来の）供給曲線の傾きと(本来の）需要曲線の傾きの比です。この比が -1<c/a < 1ならば、すなわち、c/aの絶対値が１より小さいならば、価格の時間経路は収束し、１より大きいならば発散する、ということです。したがって、c/aの絶対値の大きさが時間経路が収束するか、発散するかを定め、c/aのそのままの値は、c/a > 0ならば、振動せずに一様に収束するか（０< c/a < 1のとき)、あるいは発散する(c/a＞１のとき）。
一方、c/a < 0ならば、振動しながら収束するか（ -1<c/a < 0のとき）、あるいは振動しながら発散する（c/a < -1のとき）。このc/aが負の場合が「蜘蛛の巣」過程に対応している。通常の需要曲線はaは負であり、通常の供給曲線はｃは正だから、c/aは負となり、振動する（蜘蛛の巣を描く）。絶対値c/aが１より小さいなら収束するし、１より大きいなら発散するのだ。あなたの質問に答えるなら、c/aの絶対値が価格経路が収束するか、発散するかを定め、かつc/aの絶対値の大きさが収束・発散の大きさ(スピード）を定めるのに対し、「生の」c/aの値の正負が振動するかどうかを定めるといえる。
３点ほどコメント。
・c/aの絶対値＝１のときは、どうなる？考えよ。
・c/aの絶対値が１より小さく、収束するときは、どこへ(度の値に）収束するか、考えよ。
・価格を縦軸に、数量を横軸にとるとき、需要曲線(正確には逆需要曲線）の傾きは1/aであり、供給曲線(正確には逆供給曲線）の傾きは1/c。よって、c/a=(1/a)/(1/c)=逆需要曲線の傾きと逆供給曲線の傾きとの比だから、図に描かれた需要曲線のほうが供給曲線よりも傾斜が緩やかのとき、収束するといえる。

この回答へのお礼

こんなにも詳しく説明していただきありがとうございます。しかし勉強し始めたばかりで理解できる部分が少なく完璧に分かったわけではありません。ワルラスとマーシャルの安定条件はなるほどとなんとか理解することができたのですが、クモの巣の安定条件が全くと言っていいほど理解できません。私がいま解いている問題にこのような問題があります。(1)需要曲線と供給曲線がともに右下がりであり、需要曲線の傾きの値が供給曲線の傾きの値よりも大きい場合、市場の調整過程がクモの巣の調整過程をとるとすれば、均衡は安定であるか不安定であるか？という問題と(2)需要曲線と供給曲線がともに右下がりであり、需要曲線の傾きの絶対値が供給曲線の傾きの絶対値よりも大きい場合、市場の調整過程がクモの巣の調整過程をとるもすれば、均衡は安定であるか不安定であるか？という問題と(3)需要曲線が右下がりで供給曲線が右上がりであり、需要曲線の傾きの絶対値が供給曲線の傾きの絶対値よりも大きい場合、市場の調整過程がクモの巣の調整過程をとるとするならば、均衡は安定であるか不安定であるか？という3つの問題です。(1)は安定で(2)(3)は不安定という回答なのですが(1)(2)はそのままの傾きを比較するか絶対値の傾きを比較するかの違いで安定か不安定か分かれるという点が理解できません。

お礼日時：2016/10/26 00:44