空間図形の問題です

正四角錐でP,Qがそれぞれ中点のとき、五面体PQABCDの体積はもとの立体の体積の何倍になってますか？

手書きですいません。
分かる方よろしくお願いします。

No.2 回答者： info222_ 回答日時： 2014/08/29 12:26

図を描いて考えてください。

正四角錐の体積V,高さh,底面の正方形の辺の長さa、五面体の体積V5
とすると、

五面体の高さはh/2

V=a^2*h/3

底面から高さz(0≦z≦h/2)における五面体の切断面(長方形)の面積Sは

S=(h-z)*(a/h)*((h/2)-z)*a/(h/2)=(a/h)^2*(h-2z)(h-z)

V5を積分を使って表すと
V5=∫[0,h/2] S dz=(a/h)^2 ∫[0,h/2] (h^2-3hz+2z^2) dz
　　=(5/24) ha^2

V5とVの比を求めると
V5/V=5/8

(答)　5/8 倍

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2014/08/29 11:58

与えられた四角錐を、⊿OCDを底面としBを頂点とする三角錐(1)と、⊿OADを底面としBを頂点とする三角錐(2)に分けて考えます。

● (1)から切り取るのは、⊿OCQを底面としBを頂点とする三角錐(3)です。
三角錐(3)の高さは三角錐(1)と同じ。
Qは辺ODの中点だから、(3)の底面である⊿OCQの面積は、(1)の底面である⊿OCDの面積の1/2。
ですから、(3)の体積は(1)の体積の1/2。

● (2)から切り取るのは、⊿OPQを底面としBを頂点とする三角錐(4)です。
(4)の高さは(2)と同じ。
また、Pは辺OAの中点、Qは辺ODの中点だから、⊿OPQと⊿OADは相似である。従って、(4)の底面である⊿OPQの面積は(2)の底面である⊿OADの面積の1/4。
ですから、(4)の体積は(2)の体積の1/4。

● 与えられた四角錐が正四角錐なので、(1)と(2)は合同。従って(1)と(2)は、どちらも体積が与えられた四角錐の体積の1/2。

以上から、切り取られる体積は与えられた四角錐の体積の1/2のさらに(1/2+1/4)、つまり3/8であり、残るのは5/8です。