高校数学の球の問題です 3-18

一辺の長さが1の正四面体の内部にたがいに外接する2つの球P,Qがある、球Pは正四面体の4面全部に接し、球Qは正四面体の3面に接しているものとする

(1)球Pの半径を求めよ
(2)球Qの半径を求めよ

解説は正四面体をOABCとおき、Oから平面ABCに下ろした垂線の足をH,BCの中点をMとすると
△OAMによる断面は図のようになる、(球P,Qの半径をそれぞれp,qとおく)

Hは明らかに△ABCの重心だからMH=1/3×AM=√3/6

よってOH=√(OM^2-MH^2)=√6/3　ここで球P,Qと△OBCとの接点をそれぞれR,Sとおくと明らかに
△OHM∽△ORPであるから　√3/2:(√6/3-p):√3/6:p

よってp=√6/12　また△OHM∽△OSQであるから√3/2:(√6/3-2p-q)=√3/6:q
となっていたのですが、

まず図の断面ですが、球P,Qは辺OAに接していないですが、接していなくていいのですか？その場合理由を知りたいです、それとHは明らかに△ABCの重心とありますが、何故これは言えるのですか？

定義か何かですか？

No.1 回答者： f272 回答日時： 2014/09/08 21:27

> 球P,Qは辺OAに接していないですが、接していなくていいのですか？その場合理由を知りたいです

球P，Qは正四面体の面に接しているんでしょ。その上に正四面体の辺にまで接することはできません。

> それとHは明らかに△ABCの重心とありますが、何故これは言えるのですか？

だって正四面体だもの。OHは球Pの中心（これは正四面体の中心と一致します）を通るのです。Hが△ABCの重心ではなくて偏った位置にあるのなら，こんなことは起こりません。

この回答への補足

>球P，Qは正四面体の面に接しているんでしょ。その上に正四面
>体の辺にまで接することはできません。
なるほど、分かりやすいですね、有難うございます

>Hが△ABCの重心ではなくて偏った位置にあるのなら，こんなこと
>は起こりません。
これは、もう当然の事実なのですね？宜しければ証明か否定から矛盾を導くかの方で示していただきたいです

補足日時：2014/09/08 23:15

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/09/08 23:15

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/09/09 02:06

なんというか面倒くさい求め方してるなぁと思いつつ....

球P の中心 P が O, A, M で決まる平面上にあることは問題ないのかな?

この回答への補足

それはつまり、PがOH上にある事を認めるって事ですよね、それが

納得できないです、正四面体の4面全部に接する球の中心は正四面体の中心にあることの証明が理解出来ないと、O, A, M で決まる平面上にあることも理解出来ないと思いますので、是非証明の方をお願いします

補足日時：2014/09/09 02:33

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/09/09 02:33

No.3 ベストアンサー 回答者： akinomyoga 回答日時： 2014/09/09 12:18

> 球P,Qは辺OAに接していないですが、接していなくていいのですか？

これは No.1 の方の回答で納得されたようなので省略します。

> それとHは明らかに△ABCの重心とありますが、何故これは言えるのですか？

(∵)
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8747147.html の回答No.4の続きとして示します。
(53) (18, 22) より AH = BH = CH. よって点H は△ABCの外心。
(54) △ABC は正三角形 (∵四面体OABCは正四面体)。
(55) 正三角形の外心は重心と一致するので、(53, 54) より点H は△ABCの重心■。

> それはつまり、PがOH上にある事を認めるって事ですよね、それが
> 納得できないです

これは http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8747147.html の回答No.4 (21) で示しました。

> 正四面体のど真ん中にある事の証明

「ど真ん中」が何を指しているのかによりますが、垂心である事は http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8747147.html の回答No.4 (52) で示しました。

この回答への補足

有難うございます、N04を読み込んでみますね

補足日時：2014/09/09 19:59

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/09/09 20:00

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/09/09 17:57

なんで「P が O, A, M で決まる平面上にあることは問題ない」が「PがOH上にある事を認めるって事」になるんだ? まずそこを説明してくれ. ああ, もちろん「結果的にはそうなる」んだが, それは使うなよ.

球P は正四面体の 4つの面全部に接しているわけだが, これはたとえば「球P は面OAB と面OAC に同時に接する」ともいえるわけだな. このことから何が言えると思う?

この回答への補足

>なるんだ?
そこはPがO,A,Mを含む平面にあるという所から証明で理解しないと分からないです

>このことから何が言えると思う?
PからOAB,OACに下ろした垂線の足をB',C'とするとPB'=PC'とかですか？

補足日時：2014/09/10 00:14

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/09/10 00:14

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/09/10 14:55

そう, 「球P は面OAB と面OAC に同時に接する」なら「PからOAB,OACに下ろした垂線の足をB',C'とするとPB'=PC'」となる. じゃあ, そのような P 全体の集合はどのような図形になる? そして, 今は「面OAB と面OAC に同時に接する」場合を考えたが当然「面OBC と面ABC に同時に接する」場合も考えられる. そうするとそのような球の中心全体はどのような図形になる? この 2つを組み合わせたら?

さらに, ほかの面の組み合わせも考えれば求める球P の中心が質問にある画像の中にかけるはず.

蛇足だけど「そこはPがO,A,Mを含む平面にあるという所から証明で理解しないと分からないです
」はおかしい. 理由もなく「P が平面OAM 上にあることは PがOH上にある事だ」と思い込んだのか?

この回答への補足

>P 全体の集合はどのような図形になる?
どういう事ですか？そうなるPが他にもあるという事ですか？

補足日時：2014/09/10 17:59

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/09/10 17:59

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/09/11 12:40

#5 の文脈で「そのような P」と書いてあったら普通は

「PからOAB,OACに下ろした垂線の足をB',C'とするとPB'=PC'」
という P のことを意味すると読み取ってもらいたいんだがなぁ.

日本語の読解力に疑問符をつけていい?

この回答への補足

それは、分かりますよ、ですから、その条件を満たすPが他にもあるのですか？何かの直線上にあればPB'=PC'を満たすとかみたいに

補足日時：2014/09/11 20:13

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/09/11 20:14

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/09/12 00:22

「PからOAB,OACに下ろした垂線の足をB',C'とするとPB'=PC'」であるような P は複数あります.

実際問題として「数えきれないほど」たくさんあるよ.

この回答への補足

それがOBC,OAB,OCA、ABCの４面全部に接する,
つまりOCA,ABCにPから下ろした垂線の足をD',E'とするとPB'=PC'=PD'=PE'となる点Pとなると一点に決まるという事ですよね？これも複数あるように思えるのですが、何故一点だと決まるのですか？

補足日時：2014/09/12 02:38

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/09/12 02:38

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/09/12 10:57

HがＡ，Ｂ、Ｃから等距離にあることは明らかでしょう。

異なれば、ピタゴラスの定理から、０Ａ、ＯＢ、ＯＣ
が異なることになり、正四面体でなくなります。

つまりHは底面の外心です。

正三角形の内心=外心=重心 なのでHは底面の重心でもあります。

この回答への補足

>HがＡ，Ｂ、Ｃから等距離にあることは明らかでしょう。
>異なれば、ピタゴラスの定理から、０Ａ、ＯＢ、ＯＣ
>が異なることになり、正四面体でなくなります。
なるほど、分かりました、ここから正四面体の4面に接する球の中心がOH上にあることはどうやって分かるんですか？Hが△ABCの内心=外心=重心であることは理解できました

補足日時：2014/09/12 18:00

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/09/13 09:06

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/09/12 11:28

>PB'=PC'=PD'=PE'となる点Pとなると一点に決まるという事ですよね？

>これも複数あるように思えるのですが、何故一点だと決まるのですか？

三面からの距離が一致する点が1個なのは直感的にも明らか
ですが、方程式立てれば未知数3、条件3なので
予想がつくのでは？

まあ、そんなことを考えなくても、四面体は
０Hに対して回転対称だから、pはOH上にないと、
回転でPとOMの距離が変わってしまい、
全部の面で接していないことになってしまう。
PがOH上にあれば、半径はすぐに求まりPの位置が確定します。

この回答への補足

>方程式立てれば未知数3、条件3なので
>予想がつくのでは？
はい、是非その方程式を立てたいのですが、どんな方程式になるんですか？考えたのですが、分かりませんでした

QがOH上にあるというのも同じような考え方ですか？

補足日時：2014/09/12 18:20

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/09/12 18:21

No.10 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/09/13 08:51

〉どんな方程式になるんですか？考えたのですが、分かりませんでした

幾何学的てきにではなく、方程式で解いて欲しいということですか？
幾何学的に十分解けるのに。

3点を通る平面の方程式の立て方や、平面と点との距離の計算方法
は高校で習っているはずなのでご自分で挑戦してみて下さい。

2面からの等距離という条件で解は面
3面では直線、4面では点になるでしょう。

この回答への補足

>2面からの等距離という条件で解は面
>3面では直線、4面では点になるでしょう。
これは何でそんな事が言えるんですか？

補足日時：2014/09/13 09:24

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/09/13 09:24