質点1と質点2が3つのバネでつながれている。
2つの質点はともに m 、3つのバネはともに自然長で l 、バネ定数は k である。
時刻t=0で質点は静止しているが、平行の位置からの変位は、x1(0)=a、x2(0)=bただし、0<a<bである。
質点1,2の運動は平行位置からの変位x1,x2で表す。(右向きが正)
(1)質点1、質点2の運動方程式は?
(2)y1=x1+x2、y2=x1-x2とする。y1、y2を満たす微分方程式は?
(3)y1、y2の角振動数をそれぞれω1、ω2としたとき、ω2/ω1も値は?
(4)y1*y2の方程式を解く
(5)x1、x2を求める
(1) mx1"=-kx1+k(x2-x1)
mx2"=-kx2-k(x2-x1) で正しいですか?
(2)(1)をy1、y2を使い、表したらいいのですか?
(3)~(5)は分かりません。
解き方を教えてください。
バネ定数k 質点1 質点2
|―∨∨∨∨―●―∨∨∨∨―●―∨∨∨∨―|
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1)左のバネは伸びている、中央のバネは左よりさらに伸びている、ただし右のバネは3つのバネ長の和が3Lという制約に縛られているため縮んでいると考えたのですね。
運動方程式は、正しいです。(2)運動方程式の第1式と第2式の和は、
m*(x1"+x2")=-k*(x1+x2) となりますので、これをy1で表すと、
m*y1"=-k*y1 →(式1)
また、第1式から第2式を引くと、
m*(x1"-x2")=-3*k*(x1-x2) となりますので、これをy2で表すと、
m*y2"=-3*k*y2 →(式2)
ここで(式1)を変形すると、y1"=-k/m*y1
(式2)を変形すると、y2"=-3*k/m*y2
となり、これらが求める微分方程式です。
(3)これらは単振動を表す微分方程式に帰着しましたので、角振動数ω1、ω2で表現すると、
y1"=-ω1^2*y1 →(式3)
y2"=-ω2^2*y2 →(式4)
よって、ω2/ω1=√3
(4)「y1*y2」は入力ミスで、「y1、y2」ではないでしょうか?
そうであれば、(式3)の一般解は、定数A、Bを用いて、
y1(t)=A*cos(ω1*t)+B*sin(ω1*t) →(式5)
と書け、y1(0)=x1(0)+x2(0)=a+b を(式5)に適用すると、
y1(0)=A*cos(0)+B*sin(0)=a+b より、A=a+b
また(式5)を微分すると、
y1(t)'=-A*ω1*sin(ω1*t)+B*ω1*cos(ω1*t) →(式6)
t=0において、2つの質点は静止しているため、y1(0)'=0 を(式6)に適用すると、
y1(0)'=-A*ω1*sin(0)+B*ω1*cos(0)=0 より、B=0
すなわち(式3)の解は、
y1(t)=(a+b)*cos(ω1*t)=(a+b)*cos(√(k/m)*t)
y2についても同様に解くと、(式4)の解は、
y2(t)=(a-b)*cos(ω2*t)=(a-b)*cos(√(3*k/m)*t)
(5)x1(t)=1/2*(y1(t)+y2(t)) より、
x1(t)=1/2*((a+b)*cos(√(k/m)*t)+(a-b)*cos(√(3*k/m)*t))
x2(t)=1/2*(y1(t)-y2(t)) より、
x2(t)=1/2*((a+b)*cos(√(k/m)*t)-(a-b)*cos(√(3*k/m)*t))
です。
ご理解いただけたでしょうか?
No.1
- 回答日時:
初期条件はx1(0) = a , x2(0) = bだけ・・?
(夫々2つの振幅情報と位相情報が表れてくるので、あと2個の初期条件が必要なように思うのだが!?)
(1)"を時間微分を表すものとして、質点1、質点2の運動方程式は・・・(右向きを正として)
mx1" = -kx1+k(x2-x1)・・・(1)
mx2" = -kx2-k(x2-x1)・・・(2)
・・・で正しい
(2)(1)+(2)および(1)-(2)を作ればよい
(3)(ω1)^2 = k/m , (ω2)^2 = 3k/m・・・として単にω2/ω1を計算するだけ
(4)y1*y2の方程式を解く・・??
設問の意味が理解できないのだが、(2)によってy1とy2に関する各々独立な微分方程式が出来るので独立にy1 , y2が求められる
(5)(4)から連立方程式を解く要領でX1とX2が求められる
・・・と思う!
(初期条件が(2個!?)足りないのでこのままだと任意常数が(2個!?)残ってしまう)
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 数学直線の方程式とベクトル方程式について 直線の方程式で 点(x1,y1)を通り、直線ax+by+c 1 2022/08/12 12:13
- 数学 写真の図は中心(a,b)半径rの円とその円周上の(x1,y1)における接線lと円の中心とlを結ぶ任意 4 2023/08/08 16:20
- C言語・C++・C# ある線が円の範囲に入っているかの計算 1 2022/12/07 16:14
- その他(プログラミング・Web制作) Pythonにおける物理のシミュレーションでの単位変換について 2 2023/06/02 17:11
- 数学 数学(ベクトル) 単位ベクトルの一次結合で一般の空間ベクトルは表せる という式なのですがなぜ 「x1 3 2023/04/10 01:24
- Excel(エクセル) エクセルで同じ数字同士を自動で線で結ぶVBAを教えてください 6 2022/04/26 23:13
- 数学 線形代数の対称行列についての問題がわからないです。 2 2023/01/08 14:59
- 物理学 2物体の単振動 1 2023/08/17 20:27
- その他(プログラミング・Web制作) Pythonによる物理の斜方投射の位置座標表示について 2 2023/06/05 12:46
- 物理学 物理の単振動の問題で分からない所を教えてください 1 2023/05/10 20:59
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
遠心力について。
-
大学の物理が難しすぎることに...
-
RL-C並列回路のインピーダ...
-
減衰係数の単位換算
-
単極誘導の説明の間違い
-
連続系一次遅れの離散系バージ...
-
1.027の求め方について教えて下...
-
半径がr[m]のタイヤが角速度ω[r...
-
複素振幅ってなんですか?
-
フーリエスペクトルの振幅について
-
周波数スペクトル図の、マイナ...
-
2物体の単振動
-
電荷qの荷電粒子が角速度ω、半...
-
物理の回路の問題です (2)の一...
-
太陽の赤緯の求め方教えてくだ...
-
物理の問題がどうしても解けま...
-
ローパスフィルタのカットオフ...
-
回転するコイルの誘導起電力に...
-
復元力の運動方程式F=-KxのK=mω...
-
2自由度系の固有振動数
おすすめ情報