問題) By using the substitution u = 2x - 1 , or otherwise, find ∫(2x)/(2x - 1) ^2 dx
これを私流に計算していくと
∫(2x)/(2x - 1) ^2 du/2
1/2 ∫ (u+1) (u^ -2) du
1/2 ∫ ( u ^ -1 + u ^ -2) du
ここで途中計算の質問なのですがこれを積分すると
1/2[ u ^0 - (u ^ -1)] + c →1/2 [ - (u ^ -1)] + c となっていいのでしょうか?
それとも 1/2 ∫ ( 1/u + u ^ -2) du となり
1/2 ( ln l u l - u ^ -1) + c と続いていくのでしょうか?
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
u = 2x - 1
du=2dx ⇒ dx=(1/2)du
2x=u+1
より
I=∫(2x)/(2x - 1) ^2 dx=∫(u+1)/u^2 (1/2)du
>これを私流に計算していくと
>∫(2x)/(2x - 1) ^2 du/2 ←同じ積分の式では1つの積分変数しか使っては使っていけないよ。
>1/2 ∫ (u+1) (u^ -2) du
I=(1/2) ∫ (u+1) u^(-2) du
>(1/2) ∫ ( u ^-1 + u ^-2 ) du
I=(1/2) ∫ ( u ^(-1) + u ^(-2) ) du
>ここで途中計算の質問なのですがこれを積分すると
>1/2[ u ^0 - (u ^ -1)] + c →1/2 [ - (u ^ -1)] + c となっていいのでしょうか?
これは間違いです。↑
>それとも 1/2 ∫ ( 1/u + u ^ -2) du となり
I=(1/2) ∫((1/u) +(1/u^2)) du
>1/2 ( ln l u l - u ^ -1) + c と続いていくのでしょうか?
I=(1/2) ( ln |u| - (1/u) ) + c
これ↑なら合っているよ。
後はu=2x-1を代入してもとの変数xに戻せば良いです。
No.2
- 回答日時:
質問の趣旨は公式
∫(u^n)du=u^(n+1)/(n+1)+C
がn=-1のとき成り立つかということだと思いますが、結論は成り立ちません。
分母の定数(n+1)が0になって式が無意味になっていることからも明らかです。
n=-1のとき、すなわちu^(-1)=1/uのときは
∫(u^n)du=∫(1/u)du=log|u|+C
です。
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