sin(x)のマクローリン展開

明日解析のテストがあるのですが、
わからないところあります。
sin(x)のマクローリン展開を
ｎ回微分を用いて求める問題なのですが
(sin(x))'＝cos(x)=sin(x+pi/2)
同様にして
(sin(x))^(n)=sin(x+pi*n/2)
ここからマクローリン展開の係数の
出し方がわかりません。どなたか
よろしくお願いします。

No.1 回答者： nabla 回答日時： 2004/06/03 22:54

マクローリン級数とは。

f(x)=f(0)+f'(0)x/1!+f''(0)x^{2}/2!+f'''(0)x^{3}/3!+……+f^{n}(0)x^{n}/n!+……

ですからここに、sinのn次導関数を当てはめていけば導かれます。

ちなみに、
sin(x)=x-x^{3}/3!+x^{5}/5!-x^{7}/7!+…
となれば正解です。

この回答への補足

早速の回答ありがとうございます。
質問内容は、あのあとマクローリン展開の係数
anの一般式を求め方についての質問です
わかりにくくて申し訳ありません

補足日時：2004/06/03 22:57

No.2 ベストアンサー 回答者： nabla 回答日時： 2004/06/03 23:30

kを４で割った余りで４通りの場合に分けると分かりやすいですよ。

１）k≡0(mod.4)のとき
(sin0)^{k}=sin0=0
２）k≡1(mod.4)のとき
(sin0)^{k}=cos0=1
３）k≡2(mod.4)のとき
(sin0)^{k}=-sin0=0
４）k≡3(mod.4)のとき
(sin0)^{k}=-cos0=-1

よってkが偶数の項は消えてしまい、さらに＋の項と－の項が交互に現れるだろうということが分かります。

そこで残る項は全て奇数項なので、k=2n-1と置きます。
すると、(sin0)^{k}/k!=(-1)^{n+1}x^{2n-1}/(2n-1)!
となることが分かります。

No.3 回答者： elttac 回答日時： 2004/06/03 23:37

　No. 2 の方の回答のように，sin x のマクローリン展開の級数は，4 ずつの周期性があります。

1，0，-1，0 の周期性をもつのですから，sin(2πn) を使って，または Im(i^n) を使って，n 次の係数は，
　　sin(2πn) ／ n!
　　Im(i^n) ／ n!
となるはずです。