数学 最大最小

座標平面において、曲線C:y=sinx(0<x<π/2)上の点P(a、sina)におけるCの法線がx軸と交わる点をQとする。線分PQを直径とする円が、x軸と交わるQ以外の点をRとする。このとき、三角形PQRの面積S(a)を求めよ。次に、aが動くとき、S(a)の最大値を求めよ。
解き方お願いします。

No.1 回答者： Nanimonite3 回答日時： 2014/10/29 00:14

ご要望通り解き方を書きます。

１．Ｐでの法線の方程式を求めてｙ＝０とするとＱのｘ座標が求まる
２．ＰとＱの中点（円の中心）のｘ座標を求める
３．Ｒのｘ座標とＱのｘ座標を足して２で割ったものが２．で求めたｘ座標である
４．Ｓ（ａ）が計算できる
５．ふつうに微分して増減を調べる

これを参考に自力で答案を作ってください。

No.2 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2014/10/29 01:18

点(x,y)におけるy=sinxの接線の傾きはcosx、よって法線の傾きは-1/cosx

点(a,sina)における法線の方程式

y-sina=(-1/cosa)(x-a)

Qのx座標は上式においてy=0としてx=a+cosasina

Q(a+cosasina,0),

∠PRQは直径PQの上の円周角なので90°、つまり

R(a,0), PR=sina, RQ=cosasina

S(a)=PR*QR/2=sinacosasina/2=sina^2cosa/2

dS/da=[2sinacosacosa+sina^a(-sina)]/2=[2sinacos^2a-sin^3a]/2

=[2sina(1-sin^2a)-sin^3a]/2=[2sina-3sin^3a]/2=(-3/2)sina[sin^2a-2/3]

0<a<π/2なのでsina＞0、

S(a)はsina=√(2/3)を満たす点で極値をとる。

増減表を書き、Sの概形を描くこと。0<a<π/2なのでt=sinaは単調増加,よって

S=t^2√(1-t^2)/2、dS/dt=(-3/2)(t^2-2/3)/√(1-t^2)/としてtを独立変数としてもよい。

sina=t=√(2/3)において最大値となることを確認する。このときcosa=√(1/3)

最大値＝S=sina^2cosa/2=(2/3)√(1/3)/2=1/3√3＝√3/9