二次関数の練習問題です。答えと違います

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質問者：xiayuhang96
質問日時：2014/11/30 01:28
回答数：4件

この問題なんですけど

次の関数の最大値を7とする、定数cを求めよまた最小値も求めよ
y=-2x^2+12x+c (ー2≦x≦2)

後ろの答えにはcは-9であるとかいてありますが

私が何ども計算して、どうしても-9の答えではありません。
それに、私は-32みたいな絶対値が相当大きい数だらけ出た。どうしても-9ではない。
どなたが一度計算してみてくださいませんか

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回答 (4件)

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No.4

回答者： ORUKA1951
回答日時：2014/11/30 11:16

グラフの形が把握できてますか?

[平方完成]を使う
y = -2x² + 12x + c
平方完成すると
y = -2(x - 3)² + (c + 18)
変形して
　(y - (c + 18)) = (-2)(x - 3)²
　すなわち、y = x² のグラフを
・(-2)倍---逆さにして2倍--
・x方向に 3移動
・y方向に (c + 18)移動
　したグラフですね。当然、頂点は (3,(c+18))になります。

範囲が、 (ー2≦x≦2)で、x=3--頂点より左の範囲ですから、
この範囲内では、xが-2→2に変化しても、yの値は一方的に増えるだけ
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
すなわち、x = -2 で最小値、x = 2 で最大値を取るはずです。
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★次の関数の最大値を7とする、定数cを求めよ
　この問題文を次のように解釈すると
______________________________________________________________
　次の関数において、(-2 ≦ x ≦ 2)の範囲において、最大値が7に
なるときのcの値を求めなさい。またその時、この範囲内で最小値の
値を求めなさい。
　y = -2x² + 12x + c (-2≦x≦2)
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
x = 2のとき最大値なので
　(7) = -2(2)² + 12(2) + c
　 7　= -8 + 24 + c
　 7　= 16 + c
　-9　= c
∴式は、
　y = -2x² + 12x - 9
x = -2のときが最小値なので
　y = -2(-2)² + 12(-2) - 9
　　= -8 - 24 - 9
　　= -41

★重要なこと、もし問題文があなたの書かれたとおりでしたら、次のようにも解釈できることになります。
______________________________________________________________
　最大値が7となる次の関数においてcの値を求めなさい。
　(-2≦x≦2) この範囲内で最小値の値を求めなさい。
　y = -2x² + 12x + c (-2≦x≦2)
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　最大値は x = 3のときですから、
(7) = -2(3)² + 12(3) + c
　7 = -18 + 36 + c
　7 = 18 + c
　-11 = c
　　・・・以下省略・・・・・

[微分]を使う
y = -2x² + 12x + c
微分して
y' = -4x + 12
y' = 0とすると
　0 = -4x + 12
　x = 3
よってグラフは、
　　　← x=3 →
傾き　／　0　＼

　以下解き方は一緒です。

★問題文が二通りに読取れなくもない。

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No.3

回答者： yyssaa
回答日時：2014/11/30 08:03

＞y=-2x^2+12x+c=y=-2(x^2-6x)+c=-2(x-3)^2+c+2*9

=-2(x-3)^2+c+18
このグラフはx=3を軸とする上に凸の二次曲線であり、
-2≦x≦2でyが最大になるのはx=2のときだから、
最大値は-2*(2)^2+12*(2)+c=16+c
これが7だから16+c=7からc=7-16=-9
yが最小になるのはx=-2のときだから
-2*(-2)^2+12*(-2)-9==-41
よって最小値は-41