微分積分

(1) ∫(sinx-cosx)^2 dx

(2) ∫(1+logx)/x dx

の積分と積分した答えを微分してもとに戻ることを教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2014/12/04 00:43

(1) ∫(sinx-cosx)^2dx

=∫(1-2sinxcosx)dx=∫(1-sin2x)dx=x+(1/2)cos2x+C

(x+(1/2)cos2x+C)'=1-sin2x=sin^2x+cos^2x-2sinxcosx=(sinx-cosx)^2




(2) ∫(1+logx)/xdx

=∫(1/x+logx/x)dx=logx+∫(logx/x)dx

部分積分を使って

∫(logx/x)dx=(logx)^2-∫(logx/x)dx

⇒∫(logx/x)dx=(1/2)(logx)^2

以上から

∫(1+logx)/xdx=logx+(logx)^2/2+c

(logx+(logx)^2/2+c)'=1/x+2(logx)(1/x)/2=1/x+logx/x=(1+logx)/x

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2014/12/04 21:20