高校 物理 コンデンサー 静電エネルギー

高校物理の質問です
Ｑ=CVを積分すると
静電エネルギーU=1/2CV^2が出てくると言われ、高校範囲の微積分は分かるので納得できるのですが
位置エネルギーはU=QVですよね
だとすると静電エネルギーは位置エネルギーの半分ですよね
この違いはなぜ生じるのでしょうか

位置エネルギーを考えるときには
一様な電場を想定していて
コンデンサーの時は電気量が電場に依存しているからでしょうか

No.1 ベストアンサー 回答者： BookerL 回答日時： 2014/12/10 16:08

＞ 位置エネルギーはU=QVですよね

これは電位差Ｖが一定のときの話。コンデンサーの場合、電荷が溜まる前は電位差が０であり、電荷が溜まるに従って電位差が大きくなり、電荷がＱだけ溜まったときの電位差がＶとなります。従って単純なかけ算ではなく積分計算になります。

なお、コンデンサーの場合は電荷と電位差が比例するので、電位差の平均Ｖ/２（はじめ０で終わりがＶなので、平均はＶ/２）を使って、位置エネルギー＝電荷Ｑ×平均の電位差Ｖ/２ としても同じ結果が得られます。

この回答へのお礼

ありがとうございました
皆さん回答していただいて大変助かりました

お礼日時：2014/12/10 20:51

No.2 回答者： oze4hN6x 回答日時： 2014/12/10 16:10

ポイントはおさえることができているようですね。

参考URLに答えが載っているのでご覧ください。

参考URL：http://www.wakariyasui.sakura.ne.jp/b2/61/6153se …

この回答へのお礼

ありがとうございました
URL拝見しました
いかにも積分という感じですね

お礼日時：2014/12/10 20:49

No.3 回答者： bbgoogoo 回答日時： 2014/12/10 16:50

疑問のとおり、たしかに数式形式を比べれば本当は同じ形式の引力なので同じ関係になるべきです。

まずはイメージを作るために感覚的な理解をしましょう。
　たとえば下敷きの静電気で頭髪を引き付けて遊びます。下敷きを頭から遠くかざしても逆立ちませんが、距離を寄せると急激に激しく逆立つ様子があります。引力Fが距離ｒに反比例ではなく、たぶん自乗に反比例。

　ところで重力の加速とポテンシャルの場合はどうでしょう。
　１階の部屋で電子秤の上に水を入れたコップを載せて重さを測ってみましょう。重さは地球から引力を受けたから表示されたのですね。
　今度は２階の部屋で同じく測ってみましょう。重さは変わりましたか。同一値でしょう。１階から２階へと移動したので、高さｈが増して異なるのにコップに入れた水の重さは同一値です。
　したがって地球からの引力は１階でも２階でも同じだったのです。すなわち引力が距離に反比例でも自乗に反比例でもなく、ｇという一定値だったのです。
静電気とコップと引力の関数形がことなるので、違う結果になったのです。・・といいたいのですが、
違いの起きた原因は近似式、近似法のせいなのです。

今度は正確に厳密に辿りましょう。たとえば距離Ｒを隔てた引力は万有引力Fから
F=mg=GMm/R^2
静電気にそっくり
ここでRを地表とすると地表の重力加速度gは
g=GM/R^2
Ｒを地球の半径rと空中の高度hから
R=r+h
とRをかき分けると
地表では
h=0
R=r
とした。
もう一度万有引力の式に戻って、地球上高度h＞0の万有引力Fは
F=GMm/(r+h)^2
=GM/r^2・r^2・m/(r+h)^2
=g'm
すると上式g'とgより
g'=g・r^2/(r+h)^2
　=g(r/(r+h))^2

さらに、分母分子を地球半径rで割り算して
g' = g (1 + Z/r)^(-2)
ここで、高度Zが半径rにくらべて小さいとして、xの絶対値が1にくらべて小さい場合の近似式
(1 + x)^n ＝ 1 + n x + ...
を使うと
g' ＝ g ( 1 - 2 Z/r + ... )
この式より、高度が地球半径の１％増えると、重力が約２％減少するとわかります。これって地表面の建物１階と２階ほどの距離(高さｈ）ではほとんどｇ’は変化しないということです。
人工衛星ほどの高さになればｇ’は静電気と同じです。

この回答へのお礼

位置エネルギーにおいては重力も磁場も殆ど変わらないのですね

お礼日時：2014/12/10 20:50

No.4 回答者： bbgoogoo 回答日時： 2014/12/10 17:19

付け足します。

g(r/(r+h))^2＝ｇ（ｒ/（ｒ＋Ｚ））＾２
です。
ｈ＝Z
なので高度の表記はお好きなほうに