z=f(x、y)に対し、対応する地点(x、y、f(x、y))の傾斜を考える。
xy平面上で、(x、y)を通る単位方向ベクトルu=(ux,xy)の方向を向いた直線l
(x+s(ux),y+s(uy))(sはパラメーター)を考え、この直線を含むxy平面に垂直な平面とfが交わって出来る曲線に沿って、(x,y,f(x,y))から、(x+s(ux),y+s(uy)、f(x+s(ux),y+s(uy))まで動いたとき、この間の平均傾斜は
{f(x+s(ux),y+s(uy))-f(x,y)}/sだから、(x,y)での傾斜は(画像の6.1)であり、
6.1は(u内積V)と画像にあるのですが、6.1から(u内積V)を導いている式変形がよくわかりません。これはどういう意味なのでしょうか?
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
thereshさん,こんにちは.
画像一番下にある数式の式変形が分からない,というご質問でよろしいでしょうか.
式(6.1)より,c(x,y;u)=lim[s→0]{f(x+su_x,y+su_y)-f(x,y)}/sです.ここで,f(x+su_x,y+su_y)について考えてみましょう.これは,点(x,y)から微小量(su_x,su_y)だけ変位したときの値です.これは第一引数を固定し,第二引数の変化だけに着目すれば次のように近似できます.
f(x+su_x,y+su_y)≒f(x+su_x,y)+{∂f(x+su_x,y)/∂y}×su_y …(1)
一変数関数の近似と同じですね.(1)式にあるf(x+su_x,y)も同様に
f(x+su_x,y)≒f(x,y)+(∂f(x,y)/∂x)×su_x …(2)
と近似できます.これを(1)式に代入すれば結局
f(x+su_x,y+su_y)≒f(x,y)+(∂f(x,y)/∂x)×su_x+{∂f(x+su_x,y)/∂y}×su_y …(3)
となります.これを(6.1)式に代入すると
c(x,y;u)
=lim[s→0]{f(x,y)+(∂f(x,y)/∂x)×su_x+{∂f(x+su_x,y)/∂y}×su_y-f(x,y)}/s
=lim[s→0]{(∂f(x,y)/∂x)×u_x+{∂f(x+su_x,y)/∂y}×u_y}
=(∂f(x,y)/∂x)×u_x+{∂f(x,y)/∂y}×u_y …(4)
となり,よく見ると画像一番下にある数式の真ん中と同じです.
ここで,u=(u_x,u_y),そして画像からは分からないのですが,V=(∂f/∂x,∂f/∂y)=∇fと定義されているのでしょう.(4)式の形はちょうどこれら両ベクトルの同じ成分同士の積の和,つまり内積になっているので
c(x,y;u)=u・V …(5)
と書けるわけです.
分からない点があれば補足に書いてくださいね.
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 球面と接する直線の軌跡が表す領域 4 2023/07/30 12:37
- 物理学 xy平面上を運動する物体Aがある。この物体の時刻tにおける位置ベクトルra(t)がra(t)=p + 2 2022/05/22 14:00
- 物理学 xy平面上を運動する物体Aがある。この物体の時刻tにおける位置ベクトルra(t)がra(t)=p + 1 2022/05/23 21:39
- 数学 3次元実ベクトル空間において, 平面 P:x-y+z+1=0 と直線 L:2(x-1)=-y=-z 3 2022/10/29 14:39
- 数学 この問題がわかりません。 B(2,1,-1)を通り、法線ベクトルn*=(3,-1,2)の平面αの平面 4 2022/05/09 16:47
- 数学 x^2+y^2*+z^2=169の点(5,12,0)における接平面の方程式を求めよという問題です。自 1 2022/12/24 00:40
- 数学 1より大きい実数からなる数列{a[n]}がlim[n→∞]a[n]=1をみたしています。 xy平面上 2 2023/06/10 11:47
- 物理学 なめらかな水平面の床の上に、質量 200 g の物体がある。床の面を xy 面とし、鉛直方向に z 1 2022/07/23 11:28
- 数学 数学直線の方程式とベクトル方程式について 直線の方程式で 点(x1,y1)を通り、直線ax+by+c 1 2022/08/12 12:13
- 数学 都市経済学の問題です。わかる方教えてください。 地主が得る地代を増やすために、都市の端までの距離 x 2 2023/07/18 17:41
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
外積、内積に使われる記号の読...
-
3次元空間内での線分の交差判...
-
数学の問題がわかりません
-
内積空間 内積空間でないベクト...
-
ベクトルの図形の証明
-
ベクトルの問題です。お願いします
-
余弦定理と内積
-
数学の問題です 四面体OABCにお...
-
空間のベクトル、平面上の条件
-
内積利用条件付最大最小問題
-
数B ベクトルについて質問です...
-
外積マークの×は何て読んでます...
-
ベクトル(正四面体)
-
mm3とμl
-
勉強は
-
至急 1立方メートルは「何ミ...
-
表現行列が規定のとり方によっ...
-
平方ミリメートルを平方メート...
-
内角の和が1440°である多角形は...
-
PowerPointで台形を描く方法
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
外積、内積に使われる記号の読...
-
3次元空間内での線分の交差判...
-
数学の問題です 四面体OABCにお...
-
問) 四面体OABCの辺OAを1:2に内...
-
台形 ベクトルの問題
-
外積マークの×は何て読んでます...
-
正射影ベクトルについて。
-
高校数学 空間ベクトルでの垂線...
-
四面体とベクトル
-
内積空間 内積空間でないベクト...
-
ベクトル
-
ベクトル(正四面体)
-
ベクトルと軌跡 青チャート
-
ベクトル方程式 2点を通る直...
-
画像の固有ベクトルが直交して...
-
【ベクトルの問題です】
-
空間ベクトルの一次独立(数B)
-
高2 数学
-
三角形ABCにおいて辺BC CA AB...
-
なぜ内積の演算は整式の展開と...
おすすめ情報