ベクトル解析入門(発散)
(ベクトル解析入門(東大出版)の本文p125)
ベクトル場V=(u,v)が与えられたとする。
添付画像のようなある点(x、y)を中心とする、1辺hの正方形Qhを考える。
正方形から単位時間当たりどれだけの水があふれ出るのかを計算したい。
正方形の各辺での単位法線ベクトルをnとし、この正方形から単位時間当たりに流れ出る水の流出量をA(x,y;h)とすると、
A(x,y;h)=∫(∂Qh)(V内積n)ds=A1+A2+A3+A4
A1=∫(-h/2→h/2)u(x+h/2,y+s)ds
A2=∫(-h/2→h/2)v(x+s,y+h/2)ds
A3=-∫(-h/2→h/2)u(x-h/2,y+s)ds
A4=-∫(-h/2→h/2)v(x+s,y-h/2)ds
ただし、∂Qhは正方形Qhの境界を表し、A1,A2,A3,A4は正方形の右辺、上辺、左辺、下辺を通って単位時間当たりに流出する水の量を表す。
A1について上のことを確認しよう。
右辺において正方形外向きの単位法線ベクトルnはn=(1,0)である。
ゆえに、右辺上の点(x+h/2,y+s)(ただし、-h/2<s<h/2)での単位時間当たりの水の流出量はV内積n=u(x+h/2,y+s)
(疑問)
(1)まず、V=(u,v)です。教科書にはこれが何かが書かれていないのですが、定ベクトル場と考えてよいのでしょうか?
(2)正方形の単位時間当たりの水の流出量を計算するとしておきながら正方形の各辺についてのみ調べているのはなぜでしょうか?
(3)V内積n=u(x+h/2,y+s)はuとなるのではないのですか?(そもそも内積がスカラーでない時点でおかしい)
A1=∫(-h/2→h/2)u(x+h/2,y+s)dsというのはどのような意味があるのでしょうか?
(どのように考えているのでしょうか?)
(ベクトル解析入門(東大出版)の本文p125)
ベクトル場V=(u,v)が与えられたとする。
添付画像のようなある点(x、y)を中心とする、1辺hの正方形Qhを考える。
正方形から単位時間当たりどれだけの水があふれ出るのかを計算したい。
正方形の各辺での単位法線ベクトルをnとし、この正方形から単位時間当たりに流れ出る水の流出量をA(x,y;h)とすると、
A(x,y;h)=∫(∂Qh)(V内積n)ds=A1+A2+A3+A4
A1=∫(-h/2→h/2)u(x+h/2,y+s)ds
A2=∫(-h/2→h/2)v(x+s,y+h/2)ds
A3=-∫(-h/2→h/2)u(x-h/2,y+s)ds
A4=-∫(-h/2→h/2)v(x+s,y-h/2)ds
ただし、∂Qhは正方形Qhの境界を表し、A1,A2,A3,A4は正方形の右辺、上辺、左辺、下辺を通って単位時間当たりに流出する水の量を表す。
A1について上のことを確認しよう。
右辺において正方形外向きの単位法線ベクトルnはn=(1,0)である。
ゆえに、右辺上の点(x+h/2,y+s)(ただし、-h/2<s<h/2)での単位時間当たりの水の流出量はV内積n=u(x+h/2,y+s)
(疑問)
(1)まず、V=(u,v)です。教科書にはこれが何かが書かれていないのですが、定ベクトル場と考えてよいのでしょうか?
(2)正方形の単位時間当たりの水の流出量を計算するとしておきながら正方形の各辺についてのみ調べているのはなぜでしょうか?
(3)V内積n=u(x+h/2,y+s)はuとなるのではないのですか?(そもそも内積がスカラーでない時点でおかしい)
A1=∫(-h/2→h/2)u(x+h/2,y+s)dsというのはどのような意味があるのでしょうか?
(どのように考えているのでしょうか?)
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>(V内積n)が単位長さ当たりの流入量ですから、微小なy方向の長さds分の水の流入量を∫(∂Qh)(V内積n)dsはそれぞれの部分A1,A2,A3A4に関して足し合わせたものと考えて立式しているのでしょうか?
∂Qhというのが紛らわしいですがこれは積分領域、つまり右(A1)、上(A2)、左(A3)、下(A4)、の各境界の集合を感覚的に示したもので、正確には
A(x,y;h)=A1+A2+A3+A4
A1=∫(-h/2→h/2)u(x+h/2,y+s)ds
A2=∫(-h/2→h/2)v(x+s,y+h/2)ds
A3=-∫(-h/2→h/2)u(x-h/2,y+s)ds
A4=-∫(-h/2→h/2)v(x+s,y-h/2)ds
AをA1~A4に分けて計算しているわけです。
>(1)(3)に共通した質問なのですが、u(x+h/2,y+s)というのはuという関数に(x+h/2,y+s)を代入しているのであって、uかける(x+h/2,y+s)ではないのですね。
(u、vというのはx、yによって定まる関数ではなく、定数だと誤解していました。)
そうです。
>また、A(x,y;h)=∫(∂Qh)(V内積n)dsはそれぞれA1なら、y方向の微小増分dsに(V内積n)をかけて-h/2→h/2に渡ってそれを足し合わせているといえます。(V内積n)dsというのはどのような量を表しているのでしょうか?
状況はあなたの画像に書いてある通りで、V内積nとはベクトルVとA1の積分領域の単位法線ベクトルの内積を指しています。もっと格好つけていうと
x方向の単位ベクトルをi↑,y方向の単位ベクトルをj↑で表すとA1ではi↑=n↑,
V↑=ui↑+vj↑
(V内積n)=V↑・n↑=(ui↑+vj↑)・i↑=u
A1ではx座標はx+h,y座標はy+s,s=-h/2~h/2
流量は大雑把にはuh,y方向の分布を考慮して
A1=∫(-h/2→h/2)u(x+h/2,y+s)ds
としているだけの話です。
No.1
- 回答日時:
(1)まず、V=(u,v)です。
教科書にはこれが何かが書かれていないのですが、定ベクトル場と考えてよいのでしょうか?場の分布量です。つまり
u=u(x,y),v=v(x,y) :Vは成分をu,v(スカラー)とするベクトル量
以下、ベクトルには↑をつけて、つまりV↑のように表し、単位法線ベクトルはn↑で表します。
内積は・で表します。
(2)正方形の単位時間当たりの水の流出量を計算するとしておきながら正方形の各辺についてのみ調べているのはなぜでしょうか?
出入りは境界を通過することにすぎません。
(3)V内積n=u(x+h/2,y+s)はuとなるのではないのですか?(そもそも内積がスカラーでない時点でおかしい)
V↑・n↑はスカラーです。V↑のうち、n↑に平行な成分を取り出しているのでuまたはvです。
A1=∫(-h/2→h/2)u(x+h/2,y+s)dsというのはどのような意味があるのでしょうか?
(どのように考えているのでしょうか?)
2次元場において(-h/2→h/2)は流路の断面積です。ここから流出または流入する流体の流量を計算しています。A1~A4は上下左右の境界を表していることが確認できますか。
この回答への補足
(1)(3)に共通した質問なのですが、u(x+h/2,y+s)というのはuという関数に(x+h/2,y+s)を代入しているのであって、uかける(x+h/2,y+s)ではないのですね。
(u、vというのはx、yによって定まる関数ではなく、定数だと誤解していました。)
また、A(x,y;h)=∫(∂Qh)(V内積n)dsはそれぞれA1なら、y方向の微小増分dsに(V内積n)をかけて-h/2→h/2に渡ってそれを足し合わせているといえます。(V内積n)dsというのはどのような量を表しているのでしょうか?
(V内積n)が単位長さ当たりの流入量ですから、微小なy方向の長さds分の水の流入量を∫(∂Qh)(V内積n)dsはそれぞれの部分A1,A2,A3A4に関して足し合わせたものと考えて立式しているのでしょうか?
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