円柱 二次形式

円柱の方程式は二次形式ってないんですか？

質問者からの補足コメント

• ありがとうございます。
  中心線が原点を通らない場合は二次形式で表すことができないのでしょうか？

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/02/24 17:51

No.3 回答者： goo-learner 回答日時： 2015/02/21 19:30

#2です。

符号等に誤りがありましたので、訂正します。

ーーーーーーー

２次形式とは、

3 * x^2 + 5 * x *y + 2 * y^2

の様にすべての項の次数が２次である式のことです。
さて、円柱の方程式は、中心線が原点を通っていれば、

２次形式 = 定数

の形で表せます。実際、中心線の方向を表す単位ベクトルを

[ex, ey, ez]・・・・・但し、ex^2 + ey^2 + ez^2 = 1

とすれば、ベクトル[x, y, z]の中心線への正射影の絶対値は、

| ex * x + ey * y + ex * z |

で、[x, y, z]の絶対値の２乗は、

x^2 + y^2 + z^2

です。円柱の半径をrとすれば、３平方の定理から、

x^2 + y^2 + z^2 - (ex * x + ey * y + ez * z)^2 = r^2

が円柱の方程式になります。左辺を展開して整理すれは、

(1 - ex^2) * x^2 + (1 - ey^2) * y^2 + (1 - ez^2) * z^2 - 2 * ex * ey * x * y - 2 * ey * ez * y * z - 2 * ez * ey * y * z = r^2

ですから、

２次形式 = 定数

の形になっています。

No.2 回答者： goo-learner 回答日時： 2015/02/21 18:48

２次形式とは、

3 * x^2 + 5 * x *y + 2 * y^2

の様にすべての項の次数が２次である式のことです。
さて、円柱の方程式は、中心線が原点を通っていれば、

２次形式 = 定数

の形で表せます。実際、中心線の方向を表す単位ベクトルを

[ex, ey, ez]・・・・・但し、ex^2 + ey^2 + ez^ = 1

とすれば、ベクトル[x, y, z]の中心線への正射影の絶対値は、

| ex * x + ey * y + ex * z |

で、[x, y, z]の絶対値の２乗は、

x^2 + y^2 + z^2

です。円柱の半径をrとすれば、３平方の定理から、

x^2 + y^2 + z^2 + (ex * x + ey * y + ez * z)^2 = r^2

が円柱の方程式になります。左辺を展開して整理すれは、

(1 + ex^2) * x^2 + (1 + ey^2) * y^2 + (1 + ez^2) * z^2 + 2 * ex * ey * x * y + 2 * ey * ez * y * z + 2 * ez * ey * y * z = r^2

ですから、

２次形式 = 定数

の形になっています。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2015/02/21 00:21

数式の話をしたければ、聞きたいことを数式を用いて質問すべきである。

円柱の方程式なんて円柱座標系(r,Θ,z)では

r=constant

以外の何物でもない。３次元デカルト座標系(x,y,z)でも

x^2+y^2=constant

である。つまりzによらないのが柱である。

こんな話をしたかったのか。そうでなければ聞きたいことをちゃんと数式で書くべきである。。