![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?5a7ff87)
(問題)
実数x,yがx≧y≧2を満たして動くとき、f(x,y)=xy-a(x+y)の最小値がー9となるようaの値を定めることはできるか?
(解説)
自分でといた後解説を読むと、
解1、解2のどちらかが誤答であるとあり、
(解1)(自分と同じ考え方で、誤答例)
fをyを固定してf(x)=(y-a)x-ayとおく。
(あ)y-a<0の場合、f(x)はいくらでも小さい値をとれるから不適。
(い)yーa≧0の場合f(x)の最小値はf(y)=(y-a)^2-a^2①
ここで、yを動かす。yが動く範囲はy≧2かつy≧aである。
(1)a≧2の時、yの動く範囲はy≧aであり、①の最小値はーa^2.
この最小値がー9となるのはa=3のとき
(2)a<2の時、yの動く範囲はy≧2であり、①の最小値は(2-a)^2-a^2=4-4a
この最小値がー9となるのはa=13/4であるがこれはa<2を満たさない。
以上より、a=3とすれば最小値はー9.
→予選決勝法はあらゆる定数yについての最小値myを用意し、その中から優勝者を選ぶ方法である。
解1は一部のmyしか用意していない。
(い)の(1)でa=3とすると、y≧3のとき、①の最小値はー9を意味し、a=-3はOKと結論づけている。つまり、a=3で2≦y<3のときー9より小さい値をとりえるかもしれず、a=3は不適になる可能性がある。
(疑問)
2≦y<3をとるというのがよくわかりません。場合分けにより、yはy≧a(=3)を動くのではないのですか?
解1の方法がいけないという理由が全く分からないです。
(解2)(正解)
f(x)=(y-a)x-ayのように定める。
(Ⅰ)a>2の場合特に2≦y<aを満たすように固定すると、f(x)はいくらでも小さくなるから不適。
(Ⅱ)a≦2のときはy-a≧0であるからf(x)の最小値は①であり、①はy=2のとき、最小値4-4aをとる。a≦2より、この最小値はー4以上であるから、この場合最小値はー9にはなりえない。
以上より、最小値がー9となるよう定めることはできない。
(疑問)
解1がただしいと思っているせいか解2はどのように考えて、解答を書いているのか(場合分けの仕方など)が全く分かりません。
どなたか教えていただけませんか。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 【高1 数学Ⅰ 二次関数】 二次関数 f(x)=x^2-4ax+8a がある。ただし、aは正の定数と 3 2022/07/23 15:46
- 大学受験 ある大学の過去問なのですが、回答に解説がなく困っています。誰かこの問題の解説をつけて欲しいです(тт 1 2022/11/03 22:44
- 数学 2013 慶応(らしいです) 1 2022/06/14 21:15
- 数学 数学 2時間数に関わる問題について教えてください。 x≧1 y≧-1 2x+y=5 であるとき、xy 7 2022/10/29 10:57
- 数学 条件付き極値問題といわれる問題です。ラグランジュの乗数法 について、質問したいことがあります。 条件 3 2023/05/15 21:38
- 数学 ラグランジュの未定乗数法を用いる問題 3 2023/05/15 14:48
- 数学 中一数学の【最大公約数と最小公倍数】の問題です。 1問だけでも教えていただけると嬉しいです。 (1) 4 2022/08/01 10:19
- 数学 大学数学の問題です。 条件 (x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1 のもとで、f(x,y 3 2023/05/01 11:28
- 物理学 抵抗力と一定の力fが働く場合の物体の運動について、一般解をx=ft/γ+C3e^(-γt/m)+C4 2 2023/07/13 08:25
- 数学 【 数I 最大値・最小値 】 問題 2次関数f(x)=-x²-4x+1のa-1≦x≦a+1にお ける 1 2022/07/17 12:56
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
x.>0ときγ(x)が最小値となるxの...
-
全員と同じグループを経験でき...
-
至急!!二次関数について aは...
-
次の問題を解いてください。 実...
-
2次関数の応用
-
2進数のバイアス表現について
-
数学の平面ベクトルの問題なの...
-
問題文は解答欄に載せます。 四...
-
東大文系数学の問題です!
-
5406を13で割ったときの絶対値...
-
MIN関数 なんて読むのですか?
-
至急!空間ベクトル(高校数学)
-
4次方程式の問題
-
順序集合
-
y=x^xの最小値
-
右クリックで開いたものが消え...
-
大学入試の過去問です。 解き方...
-
非負最小2乗法のコーディング
-
数学の三角関数の問題を教えて...
-
2次関数の最大・最小
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
2進数のバイアス表現について
-
a, bがa>0, b>0,1/a+2/b=3を満...
-
全員と同じグループを経験でき...
-
(定数a.p.qの値を求めよ) 解...
-
3次元での点群に対する最小二...
-
おしどり遊び(テイトの飛び石...
-
数学2です x>0のとき、x + 16/(...
-
5406を13で割ったときの絶対値...
-
y=x^xの最小値
-
問題文は解答欄に載せます。 四...
-
至急!!二次関数について aは...
-
2次関数の問題の場合分けで理解...
-
中学受験用の小5算数の問題です
-
mを実数とする。xの関係式f(x)=...
-
0は公約数?
-
最大元と最小元をもつことの証...
-
Gnuplot 最小二乗フィッティン...
-
数学の問題が解けなくて悩んで...
-
楕円の近似
-
この問題ですが、 なぜt=4/5の...
おすすめ情報
本問の解1では
(あ)y-a≧0と(い)y-a<0と場合分けしていますが、
f(x,y)定義域:x≧y≧2という関数の最小値を考える際に、aを定数として、
(あ)y-a≧0(い)y-a<0と、yのとる範囲を定義域の中で分けて、それぞれの最小値を考えているのではないのでしょうか?
(あ)y-a<0となり得る場合、(い)y-a<0となり得ない場合とはどこが違うのでしょうか?
問題でx≧y≧2としていますので、yはaの値にかかわらず2以上の値をとりうるというのもわかりません。
回答ありがとうございます。
先ほど補足を書きましたが、もう少しで自分の理解、考えが出来上がりそうなので、その時に、もう一度補足させてください。
自分で、解1、自分の解答を読み直して、いけないところはどこか?
また、先生に頂いたアドバイスをもとに、考え方を固めました。
(解1の問題点)
(補題)y=(x-1)^2の最小値を求める際、
(1)x≧0では最小値は0、(2)では最小値は1だから全体では0.
解1を(あ)2≦y<a(解答ではy<aとなっていたが、定義域内で考えるから2≦y<aとした)
(い)(1)y≧a,a<2(2)y≧a、a≧2と分け、どこを考えているのかを領域で示した。
(補題)の考え方と解1の大きな違いは(あ)(い)どちらも一部分での最小値しか考えていないということだ。
補題のようにそれぞれ合わせて全体で考えようとしましたが、よくわかりませんでした。
(できないのかもしれません)(続)
では、どうするべきかというと、
fの係数にパラメーターが入っている場合は、定義域はいじらずに、あくまでも全体で考えるように努める。(定義域にパラメーターが入っている場合は場合分け)
自分でそれに沿って解いたのですが、
(解答)
fについて、f(x)=(y-a)x-ayと考える。
(ア)y-a≧0となる⇔a≦2の時、
f(y)=(y-a)^2-a^2で最少。
yを動かすと、f(2)=4-3aで最小であり、a≦2より、-4以上で、最小値はー9にはなりえない。
(イ)y-a<0となる⇔a>2の時、
f(x)は、いくらでも小さくなるからfの最小値は存在しない。
ここで、解2の(Ⅰ)では2≦y<aを満たすように固定するとあるのですが、これはなぜこう固定しているのでしょうか?(できるだけ定義域には触れたくはないです)