複利計算

よろしくお願いいたします。

数学のFocus Gold1ⅡBという参考書を使っていますが、数Bの「複利計算」で行き詰っています。

問題文は
「年利率５%で１００万円を借りて、ちょうど１年後から毎年１０万円ずつ返すとき、何年後に返し終わるか。ただし、１年ごとの複利で計算し、log(10)1.05=0.0212、log(10)2=0.3010とする。」

回答は
「１００万円を年利率５%でn年借りると、返済の総額は
100×(1+0.05)^n
また、毎年の返済額１０万円を、年利率５%で積み立てた時のn年後の総額は
10+10×1.05+…+10×1.05^n=200(1.05^n-1)
となる。」


後は不等式を立式してnを求めるという手順で、それはいいのですが、この

「また、毎年の返済額１０万円を、年利率５%で積み立てた時のn年後の総額は
10+10×1.05+…+10×1.05^n=200(1.05^n-1)」

という部分がわかりません。
毎年１０万円返すのであれば、n年後の返済額は10×n万円なのではないでしょうか。

そもそも、複利計算の理屈自体がわかっていないというのもあります。
なぜ返済する額にも利率をかけるのでしょうか。

お願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2015/04/12 01:07

まず「複利計算」ですね。

　一言でいえば、元金に利息が付きますが、2年目以降には「元金＋利息の合計（＝元利合計）」に利息が付くということです。
　1万円を、利率５％で預けると、
　　1年後：10,000円＋500円（＝10,000円の5%）
　　2年後：10,500円＋525円（＝10,500円の5%）
　　3年後：11,025円＋551円（＝11,025円の5%）

という風に、元利合計がどんどん増えていくの、利息もその分多くなって行きます。
　つまり、n年後には、
　　（最初の元金）× 1.05^n
になるということです。

　ですから、100万円借りて、そのまま利率５％でn年経てば、借金の額は
　　　100万円 × 1.05^n　・・・（A）
に増えているということです。

　ここで、毎年10万円ずつ返すと、最初の年には、
　　（１）借りた100万円は、5%の利息が付いて、合計105万円になっている。
　　（２）これに対して10万円返すので、借金額は95万円になる。
ということです。
　本来の「元金合計」105万円に対して、10万円返した、つまり、（A）式でどんどん増えていくはずの借金を10万円減らしたわけです。従って、借金に付くべき2年目以降の利息も、この10万円分減らしたことになります。この10万円とそれに付くはずだった2年目以降の利息は、10万円の (n-1) 年分の複利計算で求まります。

　この「今借金を返して、借金そのものと借金につくはずだった利息を減らす」ということと、｢そのお金を同じ利息（複利）で貯金していって、n年後にまとめて返す」ということは、同じことになります。ですから、返す「毎年10万円ずつ」も、複利計算で利息を計算しながら積み立てていくことになります。
　1年目に貯金する10万円は2年目以降の (n-1) 年間貯金しておくことになるのでの (n-1) 年の複利計算、2年目に貯金する10万円は2年目以降の（n-2）年間貯金しておくことになるのでの（n-2）年の複利計算、・・・という風に毎年貯金が増えていくことになります。
　借金を返済する毎年10万円ずつ n 年間積み立てて貯金した元利合計は、

　　10万円×1.05^(n-1)（1年目の貯金）＋10万円×1.05^(n-2)（2年目の貯金）
＋10万円×1.05^(n-3)（3年目の貯金）＋・・・＋10万円（n年目の貯金）・・・（B）

ということになります。（ご質問分に書かれた式は、「+10×1.05^n」分だけ多いような気がします）

　これは、「等比級数の合計」を求めることになり、ここでは公式

　　　Σ（x^i）= [x^(k+1) - 1] / (x - 1)
　　（i=0~k）

を使い、x = 1.05、k=n-1 とおけば、（B）式は

　（Ｂ）式＝　10万円 × (x^n - 1) / (1.05 - 1)
　　　　　= 200万円 × (x^n - 1)　　・・・（Ｃ）

となるわけです。
（この公式は、こんなところを参照ください）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E6%AF%94% …

　あとは解答の説明のとおり、（Ａ）と（Ｃ）を同時に成り立たせる「ｎ」を求めればよいはずです。

この回答へのお礼

お礼が遅くなってしまい、失礼いたしました。

毎年１０万円ずつ返済していくということは、利息のついた借金額から１０万円が引かれ、それに1.05%の利率がかかって…という繰り返しということですね。
私は借金額と返済額を別個に考えてあとで合算していました。
毎年返していくということは、返済する額にも（見かけ上）利率がかかっていると考えてもいいわけですね。

とても丁寧かつわかりやすい回答で本当に感謝しております。
ありがとうございました！

お礼日時：2015/04/15 14:37

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2015/04/12 01:09

>また、毎年の返済額１０万円を、年利率５%で積み立てた時のn年後の総額は

10+10×1.05+…+10×1.05^n=200(1.05^n-1)」

a円を年率ｒの複利で積み立てるとn年後には

a・(1+r)^(n-1)

になっている、つまりa・(1+r)^(n-1)-a円の利子がついているというのが複利の原理です。

毎年a円積み立てると今年のa円にはまだ利子がつかない。１年以上たった去年のa円は利子がついてa(1+r)円になっている。k年前のa円はa(1+r)^(k-1)円になっている。ｎ年前のa円はa(1+r)^(ｎ-1)円になっている。

よってこれらの合計Sは

S=Σ(k=0,n)a・(1+r)^(k-1)

になります。要するにこれは公比(1+r)の等比級数の和、したがって

S=a[(1+r)^n-1]/(1+r-1)=a[(1+r)^n-1]/r

a=10万円、r=0.05,　万円単位で記述すると

S=10[1.05^n-1]/0.05=200(1.05^n-1)

この回答へのお礼

お礼が遅れてしまい、失礼いたしました。

借金額から毎年１０万円を引くから、利率がかかっていくということですね。
等比数列の和は求められるので、もう一度解き直してみます。

ありがとうございました。

お礼日時：2015/04/15 14:41