偶関数と奇関数の見分け方

タイトルのとおりなのですが、お願いいたします。

積分の問題で

∫（-2→2）x√(4-x^2) dx　　　　　　※√は（4-x^2）全体にかかっています

を求めよ。

という問題なのですが、偶関数・奇関数の見分け方のところで疑問があります。

xが奇関数、√(4-x^2)は偶関数なので、全体としては奇関数という考え方でいいと思うのですが、
xを√x^2 と考え、√(4-x^2)に入れ込むと√(4x^2-x^4) として偶関数と見られないでしょうか？

どこかで計算ミスをしているのでしょうか。
ご指摘、ご教授お願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2015/05/14 12:13

>xを√x^2 と考え、√(4-x^2)に入れ込むと√(4x^2-x^4) として偶関数と見られないでしょうか？

ダメです。ｘ<0のとき√の中に入れるという操作ができません。

x=2sint(-π/2≦x≦π/2）による置換、またはx^2=tによる置換等で計算はできます。もっと直接的には不定積分

∫x√(a^2-x^2) dx=C-(a^2-x^2)^(3/2)

を使うことができます。両辺を微分してみれば正しいことがわかります。

よって

∫（-a→a）x√(a^2-x^2) dx＝[-(a^2-x^2)^(3/2)](-a→a）=0

となります。問題はa=2の場合です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
sinでの置換も可能なんですね、試してみます。
積分はいろいろな解法が考えられるので楽しい一方、難しいところでもありますね。
ありがとうございました。

お礼日時：2015/05/18 11:46

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2015/05/14 16:23

＃2です。

f(x)=x√(4-x^2)

とすると

f(-x)=-f(x)

はわかりますか。ゆえにf(x)は奇関数です。奇関数では一般に

∫（-a→a）x√(4-x^2) dx=0

です。これが#2の計算に対応しています。

（参考）

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

この回答へのお礼

追記ありがとうございます。
奇関数・偶関数の定義自体は理解しております。
積分に応用する（２倍か打ち消しかなど）のはまだ慣れていませんが・・・（笑）

お礼日時：2015/05/18 11:47

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2015/05/14 11:39

√x^2とxは等しくない。

√x^2=|x|　です。
異なるものから計算しているのですから結論が異なるのは当たり前です。

この回答へのお礼

√の中の２乗は絶対値をつけて外すのでしたね。
基本を失念していました。
元の関数に勝手に制限をかけてしまっているわけですから、答えも当然異なったものが出てきますね。
納得しました、ありがとうございます。

お礼日時：2015/05/18 11:44