∫_α^β (x-α)^m (x-β)^n dx の計算について

∫_α^β (x-α)^m (x-β)^n dx = (-1)^n×(m!n!/(m+n+1)!)×(β-α)^(m+n+1)　について、お尋ねします。
(一番簡単(有名)な具体例は、いわゆる"1/6公式"と言われるものです。)

上の公式について、確かにそうなる事は、式の単純な変形と計算(平行移動するなどはもちろん利用して)によって確認しましたが、上の式の左辺から右辺への計算の意味づけとして、適当な考え方が思いつきません。
上の公式が成り立つ理由(特に右辺の係数のm!n!/(m+n+1)!に関して)について、何か、上の式の変形などに関する良い見方などがあれば、お教え頂ければ幸いです。　　


注)「 ∫_α^β 」はαからβまでの積分を意味しています。
「 (x-α)^m 」は x-α のm乗を意味しています。

No.1 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2015/08/18 19:10

_α^βは積分範囲がαからβであることを示していると解釈します。

x=α+(β-α)tと置いて

x-α=(β-α)t

β-x=(β-α)(1-t)

dx=(β-α)dt

を用いて整理すると

∫(x:α→β)[(x-α)^m (x-β)^n]dx

= ∫(t:0→1)[(-1)^n(β-α)^(m+n+1)t^m(1-t)^n]dt

=(-1)^n(β-α)^(m+n+1)∫(t:0→1)[t^m(1-t)^n]dt

となります。

あとは部分積分を繰り返して所定の結果を得ることができます。

∫(t:0→1)[t^m(1-t)^n]dt＝B(m+1,n+1)

はβ関数と呼ばれその性質はよく研究されていますので検索して確認ください。

この回答へのお礼

β関数と関連しているとは、、、目から鱗が落ちました。
全く気づいていませんでした。
有り難うございました。

お礼日時：2015/08/22 08:23