No.3
- 回答日時:
An = (n^2 - 23n - 48) / 2^n
= [ (n - 12) * (n - 11) - 180 ] / 2^n
よって
A(n-1) = [ (n - 13) * (n - 12) - 180 ] / 2^(n-1)
An と A(n-1) の差をとると何かが見えてきそう。
An - A(n-1)
= [ (n - 12) * (n - 11) - 180 ] / 2^n - [ (n - 13) * (n - 12) - 180 ] / 2^(n-1)
= { (n - 12) * (n - 11) - 180 - 2 * [ (n - 13) * (n - 12) - 180 ] } / 2^n
= ( n^2 - 23n - 48 - 2n^2 + 50n + 48 ) / 2^n
= ( -n^2 + 27n ) / 2^n
= n ( 27 - n ) / 2^n
これを i=2 ~ n で加算すれば、途中の項が相殺して
An - A1 = Σ(i=2, n)[ i ( 27 - i ) / 2^i ]
∴ An = Σ(i=2, n)[ i ( 27 - i ) / 2^i ] + A1
これは、n=2~27 では単調増加し、i≧28では単調減少する。
従って、An が最大値となるのは n=27 である。
この回答へのお礼
お礼日時:2015/09/23 01:17
解答ありがとうございます.
私は,A(n)-A(n+1)で解いたんですが,違うアプローチ方法を学ぶことができました_(._.)_
No.1
- 回答日時:
An=1/2ⁿ(n²-23n-48) が An=(n²-23n-48)/2ⁿ ではないことを願って。
f(n)=2ⁿ(n²-23n-48)、g(n)=n²-23n-48 とおくと、
2ⁿ>0 だから、
g(n)<0 のとき f(n)<0 つまり An<0 となり、An が最大値をとることはないので、
g(n)>0 となる n の範囲で考えればよいと思います。
g(n)>0 のとき
n²-23n-48>0 ・・・・・ ①
n²-23n-48=0 を解くと、
n={-(-23)±√(-23)²-4・1・(-48)}/(2・1)=(23±√721)/2
したがって、 ① の解は、
n<(23-√721)/2、 (23+√721)/2<n
n≧1 より
n>(23+√721)/2 ・・・・・ ②
ここで、
26²=676、 27²=729
だから、
26<√721<27
各辺に 23 を加えて、
49<23+√721<50
各辺を 2 で割って、
49/2<23+√721<25
したがって、 ② を満たす自然数 n は、
n≧25
である。
したがって、 n≧25 の範囲で、
f(n) が最小となるとき、 An が最大になるので、
f(n) が最小となる n を求めればよい。
n≧25 のとき、 y=2ⁿ は増加関数だから、 2²⁵≦2ⁿ となり、
2ⁿ は n=25 のとき最小となる。
また、
y=g(n) は、軸が 直線 n=23/2 で下に凸の放物線だから、
n≧25 の範囲で、
g(n) は n=25 のとき最小となる。
これより、
f(n)=2ⁿ(n²-23n-48) は n=25 のとき最小となる。
よって、
An=1/2ⁿ(n²-23n-48) は n=25 のとき最大になる。
(答) n=25
となりましたが・・・。
この回答へのお礼
お礼日時:2015/09/23 01:20
解答ありがとうございました.
そして,申し訳ありませんでした.ご指摘いただいた通り,質問させて頂いた問いを間違えて打ち込んでしまいました.
本当にありがとうございました.
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すみません,質問内容に誤りがあります.
回答者guunagoona2015 さんにご指摘いただき気がつきました.
An=1/2ⁿ(n²-23n-48)は,An=(n²-23n-48)/2ⁿ に訂正させていただきます.
※問いに対する答えは27になります.
今一度,解説お願いいたします.
申し訳ありません.