数学 不定積分の計算問、nが自然数のとき、∫(ax+b)∧n dx=1/a(n+1)×(ax+

数学 不定積分の計算

問、nが自然数のとき、
∫(ax+b)∧n dx=1/a(n+1)×(ax+b)∧(n+1)+C
が成り立つ。

(aは定数)

∫(x-2a)∧3 dx= 1/4×(x-2a)∧4+C

で解答を終わらしていいですか？

答えは上の公式?を使わずに３乗を展開してから積分計算しているのですが。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2015/10/26 11:22

よいです。

それ以上の変形や簡略化はできないようですので。

　なお、手書きでは大丈夫と思いますが、テキスト文で書くときには、変数エックスと掛け算記号が紛らわしいので、書き方を工夫しましょう。
　問題文で与えられた式は、nが自然数のとき、
∫[(ax+b)^n] dx = 1/[a(n+1)] * (ax+b)^(n+1) + C
ということですね？

　この式通りやるなら、n=3, a→1、b→-2a にすればよいだけです。

　別解として、
　y = x - 2a　　（１）
とおけば、
　dx/dy = 1
ですから
　∫[(x-2a)^3] dx
= ∫(y^3) dy
= (1/4) * y^4 + C

（1）に戻して
　∫[(x - 2a)^3] dx
= (1/4) * (x - 2a)^4 + C


「３乗を展開してから積分計算」しても悪くはありませんが、計算が面倒ではありませんか？
「(x-2a)^3」ならよいですが、「1/(x-2a)^3 = (x-2a)^(-3) 」では歯が立たなくなります。