音圧 遠距離 近似

2sin｛(k/2)((a^2+z^2)^0.5-z)｝≒ka^2/2z

zがaより十分大きいとき。



個の近似の中身を教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2015/11/04 09:49

sin(x) のマクローリン展開は

　　sin(x) = x - (1/3!)x^3 + (1/5!)x^5 - ・・・

になります。
（たとえば、下記参照）
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/graph/kinji-si …

　従って、x が非常に小さいときには、

　　sin(x) ≒ x 　　　　（１）

となります。


　お示しの式の sin の中を変形すると、

　　(k/2) * [( a^2 + z^2 )^0.5 - z ]
　= (k/2) * z * { [ (a/z)^2 +1 ]^0.5 - 1 }　　　（２）

　ここで、(a/z) は十分に小さいことから、( y + 1 )^n ≒ n*y + 1 の近似式が使えて

　　 (a/z)^2 +1 )^0.5 ≒ (1/2)*(a/z)^2 + 1

　これを（２）に代入すると

　　(k/2) * [( a^2 + z^2 )^0.5 - z ]
　= (k/2) * z * { [ (a/z)^2 +1 ]^0.5 - 1 }　
　= (k/2) * z * (1/2)*(a/z)^2
　= (k/4) * a^2/z)

これも (a/z) を含んで十分に小さいことから、（１）を使って、

　　2 * sin{ (k/2) * [( a^2 + z^2 )^0.5 - z ] }
　≒ 2 * sin[ (k/4) * a^2/z ]
　≒ 2 * (k/4) * a^2/z
　= k * a^2 / 2z

No.2 回答者： drmuraberg 回答日時： 2015/11/04 09:58

x<<1なら　(1+x)^n ≒ 1+nx を使う

(a^2+z^2)^0.5-z=z{1+(a/z)}^0.5 -z ≒ z{1+ 0.5(a/z)^2}- z
=0.5a^2/z=a^2/2z

更に、x<<1なら　sinx ≒ x を使う
2sin｛(k/2)((a^2+z^2)^0.5-z)｝≒2sin(k/2)*(a^2/z)
=2sin(ka^2/4z) ≒ka^2/2z

この回答へのお礼

素早い回答ありがとうございます！

お礼日時：2015/11/04 22:57