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No.1
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円柱の軸をx軸、z軸の慣性モーメントを計算します。
y^2+z^2=A^2の円柱が、-L/2≦x≦+L/2にあるので、
対称性から第一象限の部分を計算し8倍します。
0≦x≦L/2、0≦y≦√(A^2-z^2)、0≦z≦A
の範囲で、ρ(x^2+y^2)を重積分します。(密度ρ)
ρ∫[0→L/2] (x^2+y^2) dx=ρ{L^3/24+(L/2)y^2}
ρ∫[0→√A^2-z^2] {L^3/24 +(L/2)y^2}dy
=ρ{(L^3/24)√(A^2-z^2) +(L/6)(A^2-z^2)^(3/2)}
ρ∫[0→A] (L^3/24)√(A^2-z^2) +(L/6)(A^2-z^2)^(3/2) dz
=ρπ{(A^2)(L^3)/96+(A^4)L/32}
(z=Asinθとおいて、cos^2θ=(1+cos(2θ))/2
cos^4θ=(3/8)+cos(2θ)+cos(4θ)/8 等で計算します)
よって、円柱の質量m=π(A^2)Lだから、
I=8ρπ{(A^2)(L^3)/96+(A^4)L/32}
=M{(A^2)/4 +(L^2)/12}
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