「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

【問題】
サイズが偶数の有限群Gについて、G内の位数2の元は奇数個であることを示せ。

【解答】
単位元と位数2の元以外では、Gの元xとその逆元x^-1は対を形成する。
Gのサイズが偶数であるため、Gの元xとその逆元x^-1が偶数になることから、単位元と位数2の元の合計も偶数である。
よって、位数2の元の数は、単位元の個数1を引くと、奇数個になる。

以上で、問題の解答としては正解でしょうか。
もう少し数学的に証明できるならば、ご教授いただけると幸いです。

A 回答 (7件)

ごめん。

ミスった。

単位元と位数2の元以外では、元xとその逆元x^-1とで余ることなく対をつくることができるので、
単位元と位数2の元以外は偶数個ある。
Gのサイズが偶数であることから、単位元と位数2の元の合計も偶数個である。
よって、その中から単位元を取り除いて、位数2の元は奇数個であることがわかる。


最初の文がうまく書けない。
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この回答へのお礼

何度もありがとうございます。
大変助かりました。

お礼日時:2015/11/07 14:08

No.4 さんのご指摘を受けて、書き直してみます。



単位元と位数2の元以外では、元xとその逆元x^-1とで余ることなく対をつくることができる。
よって、単位元と位数2の元以外の元をあわせると偶数個ある。
Gのサイズが偶数であることから、単位元と位数2の元の合計も偶数個である。
よって、その中から単位元を取り除いて、位数2の元は奇数個であることがわかる。

どうですか?
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No.2 です。



No.2 の書き方が悪かったようです。質問者さんに向けて書いているのですが、何かがおかしな人が No.1 さんを批難しているように読めるかもしれません。不快な思いをさせてしまったのでしたら、申し訳ありません。
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最低限突っ込んでおくべきところは


・「Gの元xとその逆元x^-1は対を形成する」
・「Gの元xとその逆元x^-1が偶数になる」
の 2か所かな.

前者は #1 でも指摘されているけど, x と x^-1 が異なるということを一言触れておかないとまずい. あと, 「対を形成する」ももっときちんというべきかもしれない. 「形成する」が「そのような対として考える (ほかの対は考えない)」と「そのような対ができる (ほかの対は作れない)」のどちらの意味なのかちょっと怪しいところがあるし, x に対して (x, x^-1) という対と (x^-1, x) という対を同一視するかどうかも微妙だから.

後者はもっと単純で, この書き方だと「G の元 x」や「逆元 x^-1」が偶数であると主張しているようにしか読めない, というだけ. G の元が整数だとはどこにも書いてないよね.
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有限群 G の元 x の位数が 3 以上で x の逆元 x^-1 の位数が 2 になることは実際にはないが、そのことをきちんとコメントして(そして、できれば証明して)おかなければ、答案の書き方としては不十分だ。

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正解じゃないかと...



(x^(-1))^(-1) = x と、位数2の元なら x^(-1) = x を見落としてないですか?

異なるものどうしでペアがつくれるものとそうでないものがあって、そうでないものは全部で...みたいなことが書いてあるので。
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偶数位数の有限群 G は位数 2 の元を奇数個もつ、ということでしょうか。


G の元 x とその逆元 x^-1 は対を形成するというのは、つまり x と x^-1 は等しくないということですか。

以下のことは、証明できていますか。

単位元の一意性
逆元の一意性
有限群 G の元 x の位数が 3 以上なら x の逆元 x^-1 の位数も 3 以上である(この命題は、もう少し一般化したくなりますね)。

最初の 2 つは常識だとしても、最後の 1 つを示しておかないと減点したくなります。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
本当に感謝しています。

お礼日時:2015/11/07 14:08

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[1]
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[2]
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(1)
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(2)
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(3)
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[3]
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Q【代数学】正三角形の二面対群D6の説明

【問題】
正三角形の二面対群D6とはどのような群なのか説明せよ。
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【回答】
二面対群であるということは、対称変換のなす群であるということである。
つまり、変換によって図形は形を変えない。
正三角形は、三つの鏡映に対応する回転s1,s2,s3と、2π/3、4π/3の対称回転、eの恒等変換の六つの対称回転を行う。
2π/3、4π/3の対称回転は、2π/3をrとし、それぞれr,r^2で表す。
これら、s1,s2,s3,r,r^2,eの対称回転の組み合わせによって構成される群が、D6である。

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s1
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s2
(A,B,C)→(C,B,A)
s3
(A,B,C)→(B,A,C)
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(A,B,C)→(C,A,B)
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(A,B,C)→(B,C,A)
e
(A,B,C)→(A,B,C)

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添削をお願いします。

【問題】
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> 三つの鏡映に対応する回転
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 なんでもかんでも「回転」と呼ぶ流儀があるのかどうか知らないが、まとめて呼ぶなら単に「変換」、区別するなら「回転変換・鏡映変換」とか言っとく方が無難な気がするなー。

Q代数学の質問です[準同型写像の証明]

次の問題が与えられています。

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教えてください。

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Q代数学の質問です[準同型定理]

次の問題が与えられています。

整数nに対して、φ(n)=i^nと定める。ただし、iは虚数単位。

(1)φは加法群Zから乗法分C^xへの準同型写像であることを示せ。
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これはつまり、「どうして準同型定理を適用するのか」を聞いているのだと思います。
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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

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※これは余談ですが, 念の為, 一点前の質問に関連して, 初学者向けの注意をしておきます. 前回も二項演算が重要だというようなことを書きましたが, 群は集合と二項演算の組ですから, 本来は上の同型も Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} ではなく (Z/4Z, +) ~= ({1,i,-1,-i}, ⋅) というように群の演算を明記した上で書くべきです. ですが, 一々演算を明記するのは面倒だし, たいていは文脈から判断できるので, 省略して Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} というふうに書くことが多いのです.

この問は単に Z / Kerφ ~= Imageφ (~= は同型, Kerφ は φ の核, Imageφ は φ の像) の Kerφ と Imageφ の箇所に (2) で求めたものを実際に当てはめることを要求しているだけのような気がします. まあ, (2) は解答できたとのことなのでストレートに書いてしまうと, 要は Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} という答えを求めているのではないでしょうか.

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Q群Gの元aの位数

35歳すぎにして、代数学の初心者です。
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これがわからないので、「群Gの元aの位数がmnならばa^nの位数はmであることを示せ」などといわれても、ちんぷんかんぷんです。
どなたか、判りやすく教えていただける方がいましたら、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

#4です。
補足に対して少しお答えします。
群に入っている演算は何でもいいわけですが
乗法が分かりやすいし、よく説明に使われると思うので
(質問にa^nという表現もあることですし)
乗法で話をします。

群は演算に関して閉じています。
だからaがあればaを何回か掛けてできる数は全部入って
いなければいけません。

よってa^nはGに入っています。(当然nは自然数)
Gの位数が有限ならa^nはどこかで繰り返しにならないとGの位数より個数が増えてしまいます。
証明は難しく無いですが略します。感覚的にはわかってもらえると思います。

だからa^n=e(単位元)となるnが存在するといえる
わけです。1回繰り返しになれば後はその倍数で繰り返し
になりますので「最小の」と断ったのです。

(乗法の例
1のn乗根a^n=1乗法の単位元

加法でいえばa,2a,3a・・・・,na=0加法の単位元
となります。例:割り算したときの余り)

QKer(核)やIm(像)の意味がわからない。

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このとき
KerA={x∈Rn|Ax=0}
ImA={Ax∈Rm|x∈Rn}と定義する。
※Rn,Rmのn,mはRの右肩にあります。

この定義のいみがよくわかりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連立一次方程式が問題なく解ける場合
(解が一通りしかない場合)もありますが、解がない場合だって
ありますよね? これも、Aの中身によります。
そこで、xをいろいろ変えてみて、でてくるbを
すべて集めてできた集合を、Im(A)とかきます。

なれないうちは、
Ker(A)は、連立方程式Ax=0の解xの集合、
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とでも理解しておけばいかがですか?
本当は、方程式ではなくて、ベクトル空間の概念ですけども。

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このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
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標準正規分布のモーメント母関数を計算した、3次モーメントと4次モーメントを求めたいです。よろしくお願いします。

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M(t) = exp(t^2/2)

となります(添付図参照)。これの4階までの導関数をとると、次のようになります。

M'(t) = t・exp(t^2/2)
M''(t) = exp(t^2/2) + t^2・exp(t^2/2)
M'''(t) = 3t・exp(t^2/2) + t^3・exp(t^2/2)
M'''(t) = 3exp(t^2/2) + 6t^2・exp(t^2/2) + t^4・exp(t^2/2)

よって、

0回りの3次モーメント = M'''(0) = 0
0回りの4次モーメント = M''''(0) = 3

となります。

Q像と核の基底と次元を求める問題がわかりません。

f(x、y)=(x-2y、2x+y、3x-y)
という問題です。
基本変形をして

|1 -2|   |1 -2|
|2  1 |→ |0  5|
|3 -1|   |0  5|

となりImf=<t(1,2,3)> 次元=1
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一次元だから、核の基底は、行列を掛けて零
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それらが一次独立かどうかを気にせず済みます。
単に、連立一次方程式を解くだけです。


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