![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?e8efa67)
【問題】
サイズが偶数の有限群Gについて、G内の位数2の元は奇数個であることを示せ。
【解答】
単位元と位数2の元以外では、Gの元xとその逆元x^-1は対を形成する。
Gのサイズが偶数であるため、Gの元xとその逆元x^-1が偶数になることから、単位元と位数2の元の合計も偶数である。
よって、位数2の元の数は、単位元の個数1を引くと、奇数個になる。
以上で、問題の解答としては正解でしょうか。
もう少し数学的に証明できるならば、ご教授いただけると幸いです。
No.6
- 回答日時:
No.4 さんのご指摘を受けて、書き直してみます。
単位元と位数2の元以外では、元xとその逆元x^-1とで余ることなく対をつくることができる。
よって、単位元と位数2の元以外の元をあわせると偶数個ある。
Gのサイズが偶数であることから、単位元と位数2の元の合計も偶数個である。
よって、その中から単位元を取り除いて、位数2の元は奇数個であることがわかる。
どうですか?
No.5
- 回答日時:
No.2 です。
No.2 の書き方が悪かったようです。質問者さんに向けて書いているのですが、何かがおかしな人が No.1 さんを批難しているように読めるかもしれません。不快な思いをさせてしまったのでしたら、申し訳ありません。
No.4
- 回答日時:
最低限突っ込んでおくべきところは
・「Gの元xとその逆元x^-1は対を形成する」
・「Gの元xとその逆元x^-1が偶数になる」
の 2か所かな.
前者は #1 でも指摘されているけど, x と x^-1 が異なるということを一言触れておかないとまずい. あと, 「対を形成する」ももっときちんというべきかもしれない. 「形成する」が「そのような対として考える (ほかの対は考えない)」と「そのような対ができる (ほかの対は作れない)」のどちらの意味なのかちょっと怪しいところがあるし, x に対して (x, x^-1) という対と (x^-1, x) という対を同一視するかどうかも微妙だから.
後者はもっと単純で, この書き方だと「G の元 x」や「逆元 x^-1」が偶数であると主張しているようにしか読めない, というだけ. G の元が整数だとはどこにも書いてないよね.
![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/common/profile/M/noimageicon_setting_02.png?e8efa67)
No.3
- 回答日時:
有限群 G の元 x の位数が 3 以上で x の逆元 x^-1 の位数が 2 になることは実際にはないが、そのことをきちんとコメントして(そして、できれば証明して)おかなければ、答案の書き方としては不十分だ。
No.2
- 回答日時:
正解じゃないかと...
(x^(-1))^(-1) = x と、位数2の元なら x^(-1) = x を見落としてないですか?
異なるものどうしでペアがつくれるものとそうでないものがあって、そうでないものは全部で...みたいなことが書いてあるので。
![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/common/profile/M/noimageicon_setting_02.png?e8efa67)
No.1
- 回答日時:
偶数位数の有限群 G は位数 2 の元を奇数個もつ、ということでしょうか。
G の元 x とその逆元 x^-1 は対を形成するというのは、つまり x と x^-1 は等しくないということですか。
以下のことは、証明できていますか。
単位元の一意性
逆元の一意性
有限群 G の元 x の位数が 3 以上なら x の逆元 x^-1 の位数も 3 以上である(この命題は、もう少し一般化したくなりますね)。
最初の 2 つは常識だとしても、最後の 1 つを示しておかないと減点したくなります。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 群の問題です。 2 2023/06/06 18:15
- 数学 1から9の数字を書いたカードが一枚ずつある。これらの9枚のカードから同時に2枚を取り出し、数字の大き 5 2022/04/25 15:38
- 数学 代数学 環 1 2022/10/12 17:29
- 数学 大学数学の代数の問題です。 ・HをGの部分群とする。 (1)任意のg⊂Gに対し|gH|=|H|を示せ 3 2022/07/06 12:37
- 大学・短大 この問題の解き方を教えてほしいです。 大学数学の代数の問題です。 ・Gが位数6の郡で、バーベル群でな 1 2022/07/14 16:49
- バドミントン バドミントンのダブルスのルールについてです。点数が偶数なら右、奇数なら左などはわかるのですが位置を交 1 2022/06/02 21:57
- 数学 代数学 単位元 逆元 2 2022/10/11 15:43
- 化学 立体化学での質問です。 「メソ体は、不斉炭素が偶数で、分子内に鏡映面がある化合物である。」 といった 2 2022/06/24 02:34
- Excel(エクセル) Excelで全クラスのランキング表を作成したい 4 2022/05/24 15:28
- 数学 位数18のアーベル群は同型を除いて何個あるか答えよ。 わからないので考え方や解き方を教えてください。 1 2023/02/08 18:35
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
おねがいします!!!!!
-
よって・ゆえに・したがって・∴...
-
3,4,7,8を使って10を作る
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
元夫が彼女の存在を隠す理由
-
数学の証明問題で、「証明終了」...
-
証明終了の記号。
-
一様連続 e^x 証明
-
Zn=Z/nZのすべてのイデアルにつ...
-
liman=a(n→∞)、limbn=b(n→∞)な...
-
無理数って二乗しても有理数に...
-
親の再婚相手との問題です。私...
-
幽霊が存在していないことを証...
-
大学の給付型奨学金について 現...
-
あみだくじ
-
極限に関する証明について
-
「証明証」と「証明書」はどう...
-
巡回群と巡回群の直積は巡回群?
-
3の倍数であることの証明
-
分かる方教えてください。
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
素数の積に1を加算すると素数で...
-
証明終了の記号。
-
数学の証明問題で、「証明終了」...
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
3,4,7,8を使って10を作る
-
幽霊が存在していないことを証...
-
「証明証」と「証明書」はどう...
-
rankに関する証明問題です。
-
よって・ゆえに・したがって・∴...
-
一様連続の証明
-
素数の性質
-
中3数学 2つの続いた整数では、...
-
(4^n)-1が3の倍数であることの...
-
スカラー場とベクトル場
-
なぜ独身だと養子が持てないの...
-
夫が亡くなった後の義理家族と...
-
無理数って二乗しても有理数に...
-
婿養子に入ったのに出て行けと...
-
兄弟の子どもの養子縁組は可能...
-
一様連続 e^x 証明
おすすめ情報