確率・統計に出てくる確率密度関数の処理についてお尋ねします。

集めたデータを大きい順番に並べてその上位３分の１だけ取り出してその平均値を求めたいと思ったとします（データは正値）。別途確率密度関数 f(x) (0<x )の関数形が提案されており、それに従ってその理論値を求めます。
１．∫f(x)dx=1/3 (積分範囲 a<x<∞)となるaを求める。
２．∫x f(x)dx （積分範囲 a<x<∞) が上位三分の１の平均値となる。

あるいは、
２．( ∫ x f(x) dx )/ ( ∫ f(x) dx ) （積分範囲 a<x<∞) すなわち分母(=1/3)で序する.

のどちらかなと迷っています。２のプロセスが２つあるのですが。後者はベイズ定理のようなイメージです。また、上記のaは理論的に求めた上位三分の一となる最低値ということですが。
平均は確率密度関数の１次のモーメント、確率はゼロ次モーメント（関数の積分）、ということです。

f(x)にはレイリー分布とかガンベル分布、ガウス分布など名前入り関数が使われることが多いですが。

細かく、込み入っておりますが、よろしくお願いします。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/11/09 14:27

0以上 1以下の一様分布で考えてみる. f(x) = 1 で, 「上位 1/3」とはつまり「2/3以上 1以下」ってことだ.

∫x f(x)dx = 5/18 で, これを 1/3 で割ると 5/6. ちなみに「2/3以上 1以下の一様分布」だと平均は 5/6.

この回答へのお礼

ありがとうございます。シンプルな例で考えてみればいいわけですね。
”３分の１で割る”理由は、条件付き確率、すなわち、３分の１よりも小さい場合はカウントしないということだと思いますが、他の説明は可能でしょうか。ベイズの定理のようにも思えますが。
　また、派生的な質問になるのですが、∫x f(x) dx, ∫ f(x) dxのようなことを考える場合、ｘは次元付きでもいいのでしょうか。f(x)dxは確率ということになるので無次元ですね。そうすると、f(x)の次元はdxの次元(すなわちxの次元)の逆数ということになります。これは問題ないのでしょうか。

お礼日時：2015/11/16 14:14