四面体の体積の公式で１／３を使う理由がわかる人いませんか？

四面体の体積の公式で１／３を使う理由がわかる人いませんか？

No.3 ベストアンサー 回答者： asano_nagi 回答日時： 2015/12/14 20:55

正確を期すのであれば、「積分」というのを習うとわかります。

四面体というか、三角錐の体積ですよね？

底面積をＳ、高さをＨとすれば、頂点から長さ、Lで切った部分の断面積は、

S×(L/H)^2 となります。
（頂点のところは、ゼロ。底面のところは、頂点から長さHで、Ｓ）

「積分」の言葉を使うと、これを、L = 0 から H まで積分することになり、その値は、

1/3×H^3／H^2 × S = 底面積×高さ×1/3 ということになります。

No.2 回答者： doc_somday 回答日時： 2015/12/11 23:35

立派で無い方法では、正四面体は三角錐だから、と言うのが中学生の方法論。

No.1 回答者： mmmma 回答日時： 2015/12/11 19:12

底面積S(0)、高さhの錐体で、高さxでの断面積をS(x)とすると、S(0)とS(x)の面積比はS(0):S(x)=h^2:(h-x)^2

そこからゴニョゴニョと式を変形していくと、S(x)=(1/h^2)·S(0)x^2　ー　(2/h)·S(0)x　＋　S(0)
になります。

これを0→hで定積分すると、(1/3)·S(0)·h
つまり、底面積×高さの1/3になります。