第一象限内にあって二つの曲線y=x^2 -1 , x^2+y^2+2√3y-1=0と二つの直線
y=3,x=0
とで囲まれる図形をDとする。

(1)Dの面積を求めよ。

(2)Dをy軸に関して一回転して
得られる回転体の体積を求めよ。

この問題がまったくわかりません。
わかりやすく教えてください

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台形 体積」に関するQ&A: 台形の体積

A 回答 (3件)

x^2+y^2+2√3y-1=0 より


x^2+(y+√3)^2=4
中心 (0,-√3)、半径 2

(1) 図のように、点Pから点Uをとると、
(Dの面積)=(台形PQRTの面積)-(おうぎ形PQUの面積)+(図形QRSの面積)
ここで、
(台形PQRTの面積)=1/2×{3+(3+√3)}×1=3+(√3/2)

△OPQは、OP:PQ:QO=√3:2:1 だから
∠OPQ=30°
よって、
(おうぎ形PQUの面積)=π×2^2×(30/360)=π/3

(図形QRSの面積)=∫[1→2]{3-(x^2-1)}dx=∫[1→2](4-x^2)dx
=[4x-(1/3)x^3][1→2]={8-(8/3)}-{4-(1/3)}=5/3

したがって、
(Dの面積)=3+(√3/2)+π/3+5/3=(28+3√3+2π)/6


(2)(求める体積)=(図形OQRTをy軸まわりに1回転した体積)-(図形OQUをy軸まわりに1回転した体積)
ここで、
(図形OQRTをy軸まわりに1回転した体積)
=∫[0→3]πx^2dy
=π∫[0→3](y+1)dy
=π{(1/2)y^2+y}[0→3]
=π{(9/2)+3}
=(15/2)π

(図形OQUをy軸まわりに1回転した体積)
=∫[0→2-√3]πx^2dy
=π∫[0→2-√3](-y^2-2√3y+1)dy
=π{-(1/3)y^3-√3y^2+y}[0→2-√3]
=-π{(1/3)(2-√3)^3+√3(2-√3)^2-(2-√3)}
=-π{(1/3)(8-12√3+18-3√3)+√3(4-4√3+3)-2+√3}
=-π{(26/3)-5√3+7√3-12-2+√3}
=-π{-(16/3)+3√3}
={(16/3)-3√3}π

したがって、求める体積は、
(15/2)π-{(16/3)-3√3}π={(13/6)+3√3}π

になるのではないでしょうか。
「第一象限内にあって二つの曲線y=x^2 」の回答画像3
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難しい、、、分かりません(;´Д`)

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解いてませんが、


この問題が解らないのか、この問題以前の所からさっぱり解らないのか、明確にして下さい。
この問題が解らないなら、どこまでのことをやってみて、どこから解らないのか、明確にして下さい。
なお、x^2+y^2+2√3y-1=0が円の方程式だということに気付いているでしょうか?

教科書の、積分とは、という辺りで、幅がΔxの短冊というか台形というか、それを積み重ねていく、という話があったと思います。
基本はその通りで、短冊を積み重ねていくのです。
幅がΔxの短冊を考えるのであれば、短冊の高さの式がどうなるのかを出せばいい。
短冊の高さかけるΔx、で短冊の面積が表せます。
それを、インテグラルしてやる、積み重ねてやると(短冊の高さの式をf(x)とすると)、
∫f(x)dx
となるのです。ここからはどこかで見たことがあるでしょう。
後はこれを計算してやればいい。
短冊の高さはどうなっているのか!式で表せ!ってことでしょう。

回転体は、短冊の代わりに、千切りの大根みたいな物を想像すると良いでしょう。
幅がΔyの短冊、ではなく薄切りたくあん。
薄切りたくあんの面積の式は何か。
回転体ですから円ですよね。円の面積は、半径の二乗かけるπ。
つまり、半径の式は何か、って事です。
ただし、おそらく中空になるんでしょう。ドーナツ状。
外側の円から内側の円の面積を引いてやればいい。
そして同様に、その面積×Δyが薄切りたくあんの体積で、そいつをインテグラルしてやればいい。
∫g(y)dy
たくあんの面積の式はどうなっているのか!ってことでしょう。

んじゃぁ、この、どこからできないのか、ということです。
できないところから勉強しないといけません。
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台形 体積」に関するQ&A: 台形の体積

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Q台形の面積を求める問題なのですが 元の図には高さの30cmは書いてません。 高さ30cmの求め方教え

台形の面積を求める問題なのですが
元の図には高さの30cmは書いてません。
高さ30cmの求め方教えてください。

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中学生なら三平方の定理でもわかりますね
直角、30°がわかってますから
1:2:√3 に従うと
高さに当たるところは60の二分の一です

Q線形です (1)を x+3y-2z=0 x-2y+4z=0 x^2+y^2+z^2=1をもちいて 答

線形です
(1)を
x+3y-2z=0
x-2y+4z=0
x^2+y^2+z^2=1をもちいて
答えが+-の答えになりました
(2)では外せきが8,-6,-5となり
おおきさの5ルート5で割ると
+-の答えにはなりませんでした
どちらが正しいのでしょうか?

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だからそれと正反対のベクトルも、ベクトルa、bに垂直な単位ベクトルだから、これも答えに入れれば
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Q台形の土地は安いのですか?

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 ★x+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

この問題について説明をお願いします。

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おおざっぱな説明になりますが、左の式を
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となるので、x=yという答えがでます。
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また、「aとbの角度が両方とも90度」を優先するなら、dの長さが20より長くなります。

この場合はどこを優先したらいいのでしょうか?

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結果としてわかりにくい図になってしまっていますが。

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3x^2+7xy+2y^2-5x-5y+2を因数分解せよという問題で、xについて整理し、3x^2+(7y-5)x+(y-2)(2y-1)という方針で解いていくやり方と、
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Q台形の面積

 聞きたいのは、台形の面積を求める公式を証明する手順です。
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 自分が習った方法では、同じ台形をもう一つ用意し、180度回転移動
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出せるから、元の台形はその半分だね、というもの。

 しかし、平行四辺形は台形の特殊系、包含関係で言えば、
(∀平行四辺形∈(台形の全体集合))なわけですから、台形の面積を
知るために、平行四辺形の面積を求める公式を利用するのは、定義的な
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できますが、しかしそれを厳密な証明として授業で教えるのはどうかと
思います。感覚的な問題でしょうか?

Aベストアンサー

「定義的な方向性」というのが良く分かりませんが, 「一般的な場合について直接証明するのは面倒なので特殊な場合の結果を使う」というのは別段問題となることはないですね.
ところで, 「厳密な証明として授業で教えるのはどうかと思います」というのは複数の解釈が可能なんですが,
・そもそも「厳密」かどうかが疑問だ
・「厳密な証明」であることに疑問はないが, このような証明方法を授業で示すのは問題だ
のどちらなんでしょうか.

Q(1)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線3x+y+10=0が共有点

(1)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線3x+y+10=0が共有点をもつとき、rの値の範囲を求めなさい。
(2)円x^2+y^2=18と直線y=x+mが共有点をもつとき、定数mの値の範囲を求めなさい。
(3)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線4x-y+17=0が異なる2点で交わるとき、rの値の範囲を求めなさい。
(4)円x^2+y^2=5と直線y=3x+mが接するとき、定数mの値の範囲を求めなさい。
(5)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線x-3y-10=0が共有点を持たないとき、rの値の範囲を求めなさい。

解き方含め教えてください!!
お願いします。

Aベストアンサー

(1)
共有点を持つ、つまり実数解をもつということです。
実数解をもつということは、判別式DがD≧0となればよいのは分かりますね?
さて、何と何が実数解をもつかというと、x^2+y^2=r^2と3x+y+10=0ですね。
3x+y+10=0をy=-3x-10と変形して、これをx^2+y^2=r^2に代入して、xの2次方程式にしてD≧0を計算すればいいわけです。

(2)
同様に考えましょう。
y=x+mをx^2+y^2=18に代入してxの2次方程式にして、D≧0を計算すればmの値の範囲が分かるはずです。

(3)
異なる2点で交わる。つまり重解を持たずに実数解をもつ場合です。このとき判別式DはD>0となります。
他の考え方は一緒です。
4x-y+17=0を変形してx^2+y^2=r^2に代入し、その2次方程式の判別式DをD>0として計算するだけです。

(4)
接するとき、つまり重解をもつ時です。この時判別式DはD=0となります。

(5)
共有点を持たないときは、実数解をもたないときになります。
D<0ということです。


長くなりましたが、判別式の使い方さえ把握していれば全部同じ考え方で解ける基本問題ですね。

(1)
共有点を持つ、つまり実数解をもつということです。
実数解をもつということは、判別式DがD≧0となればよいのは分かりますね?
さて、何と何が実数解をもつかというと、x^2+y^2=r^2と3x+y+10=0ですね。
3x+y+10=0をy=-3x-10と変形して、これをx^2+y^2=r^2に代入して、xの2次方程式にしてD≧0を計算すればいいわけです。

(2)
同様に考えましょう。
y=x+mをx^2+y^2=18に代入してxの2次方程式にして、D≧0を計算すればmの値の範囲が分かるはずです。

(3)
異なる2点で交わる。つまり重解を持たずに実数解をもつ...続きを読む

Q回転体の側面積と体積

回転体の側面積の求め方に興味が湧き、
積分による求積方法を知りました。
以下のウェブページがとても参考になったのですが、
http://21.xmbs.jp/shindou-294836-ch.php?guid=on
その中で疑問に思うこと(考えてもわからない…)があります。


どうして、側面積の微小変化としてdxを選んではいけないのでしょうか?
回転体の体積の微小変化にはdx(断面積×dx)を採用していいのに、
側面積ではds(断円周×ds)を採用しなければならない。
その違いはどこからくるのでしょうか?

微小変化を考える場合、dsはdxで近似していいような気がするのですが、
どこに考え方の落とし穴があるのか教えてください(*_*)

Aベストアンサー

#1です。

>では「何に沿って積分するか?」はどうやって判断するのですか?
>例えば、体積は、xに沿ってもよく、側面積はxに沿ってはいけない、
>その判断基準は何なのでしょうか?

先の回答でも書いていましたが、
dxや ds自体を長さをもった量としてとらえればどうですか?
>逆の言い方をすれば、微小な厚みを表す量が dxであるということです。
>側面積は皮の幅×長さを足し合わせたものであり、皮の幅は曲線に沿ったものであるということです。


先にも例で上げていた直線:y= 2xを例に考えてみれば、
・体積は「輪切り」にして、その厚みが x軸に沿った dx
・側面積は「皮むき」にして、その幅が 直線に沿った ds

ということになるのですが、これでは弱いですか?^^;

Q「(5x+3)^10でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値」と「x+y=1を満たす全x,yに対してax^2+2bxy+by^2

こんにちは。識者の皆様、宜しくお願い致します。

[問1] (5x+3)^10の展開式でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値を求めよ。
[問2]x+y=1を満たす全てのx,yに対して
ax^2+2bxy+by^2+cx+y+2=0が成立するように定数a,b,cの値を定めよ。

[1の解]
(5x+3)^10=10Σk=0[(10-k)Ck 5x^(10-k)3^k]なので
p=10-kの時(k=10-pの時)
p+1=10-kの時(k=9-pの時)より
a:b=pC(10-p) 5^p 3^(10-p):(1+p)C(9-p) 5^(1+p) 3^(9-p)
で 1/(10-p):(1+p)/(2p-8)/(2p-9)=7:4 から
23p^3-199p+218=0
となったのですがこれを解いてもp=6(予想される解)が出ません。
やり方が違うのでしょうか?

[2の解]
与式をx+yという対称式で表せばならないと思います(多分)。
どうすれば対称式で表せるのでしょうか?

Aベストアンサー

 (1)Cをばらして比を簡略化するところで計算間違いがありそうな気がします。その経過をもう少し詳しく書いてもらえませんか?
 (2)a,b,cを求めるにはまず、x+y=1 を満たすすべての(x,y)で成り立つのですから、x+y=1を満たす(x,y)をまず代入してみてはどうでしょうか。候補としては、(1,0)(0,1)(2,-1)など。
 それから計算されたa,b,c でx+y=1を満たすすべてのx,yで成り立つかどうかを確認するという手順でどうでしょうか?


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