第一象限内にあって二つの曲線y=x^2 -1 , x^2+y^2+2√3y-1=0と二つの直線
y=3,x=0
とで囲まれる図形をDとする。

(1)Dの面積を求めよ。

(2)Dをy軸に関して一回転して
得られる回転体の体積を求めよ。

この問題がまったくわかりません。
わかりやすく教えてください

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台形 体積」に関するQ&A: 台形の体積

A 回答 (3件)

x^2+y^2+2√3y-1=0 より


x^2+(y+√3)^2=4
中心 (0,-√3)、半径 2

(1) 図のように、点Pから点Uをとると、
(Dの面積)=(台形PQRTの面積)-(おうぎ形PQUの面積)+(図形QRSの面積)
ここで、
(台形PQRTの面積)=1/2×{3+(3+√3)}×1=3+(√3/2)

△OPQは、OP:PQ:QO=√3:2:1 だから
∠OPQ=30°
よって、
(おうぎ形PQUの面積)=π×2^2×(30/360)=π/3

(図形QRSの面積)=∫[1→2]{3-(x^2-1)}dx=∫[1→2](4-x^2)dx
=[4x-(1/3)x^3][1→2]={8-(8/3)}-{4-(1/3)}=5/3

したがって、
(Dの面積)=3+(√3/2)+π/3+5/3=(28+3√3+2π)/6


(2)(求める体積)=(図形OQRTをy軸まわりに1回転した体積)-(図形OQUをy軸まわりに1回転した体積)
ここで、
(図形OQRTをy軸まわりに1回転した体積)
=∫[0→3]πx^2dy
=π∫[0→3](y+1)dy
=π{(1/2)y^2+y}[0→3]
=π{(9/2)+3}
=(15/2)π

(図形OQUをy軸まわりに1回転した体積)
=∫[0→2-√3]πx^2dy
=π∫[0→2-√3](-y^2-2√3y+1)dy
=π{-(1/3)y^3-√3y^2+y}[0→2-√3]
=-π{(1/3)(2-√3)^3+√3(2-√3)^2-(2-√3)}
=-π{(1/3)(8-12√3+18-3√3)+√3(4-4√3+3)-2+√3}
=-π{(26/3)-5√3+7√3-12-2+√3}
=-π{-(16/3)+3√3}
={(16/3)-3√3}π

したがって、求める体積は、
(15/2)π-{(16/3)-3√3}π={(13/6)+3√3}π

になるのではないでしょうか。
「第一象限内にあって二つの曲線y=x^2 」の回答画像3
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難しい、、、分かりません(;´Д`)

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解いてませんが、


この問題が解らないのか、この問題以前の所からさっぱり解らないのか、明確にして下さい。
この問題が解らないなら、どこまでのことをやってみて、どこから解らないのか、明確にして下さい。
なお、x^2+y^2+2√3y-1=0が円の方程式だということに気付いているでしょうか?

教科書の、積分とは、という辺りで、幅がΔxの短冊というか台形というか、それを積み重ねていく、という話があったと思います。
基本はその通りで、短冊を積み重ねていくのです。
幅がΔxの短冊を考えるのであれば、短冊の高さの式がどうなるのかを出せばいい。
短冊の高さかけるΔx、で短冊の面積が表せます。
それを、インテグラルしてやる、積み重ねてやると(短冊の高さの式をf(x)とすると)、
∫f(x)dx
となるのです。ここからはどこかで見たことがあるでしょう。
後はこれを計算してやればいい。
短冊の高さはどうなっているのか!式で表せ!ってことでしょう。

回転体は、短冊の代わりに、千切りの大根みたいな物を想像すると良いでしょう。
幅がΔyの短冊、ではなく薄切りたくあん。
薄切りたくあんの面積の式は何か。
回転体ですから円ですよね。円の面積は、半径の二乗かけるπ。
つまり、半径の式は何か、って事です。
ただし、おそらく中空になるんでしょう。ドーナツ状。
外側の円から内側の円の面積を引いてやればいい。
そして同様に、その面積×Δyが薄切りたくあんの体積で、そいつをインテグラルしてやればいい。
∫g(y)dy
たくあんの面積の式はどうなっているのか!ってことでしょう。

んじゃぁ、この、どこからできないのか、ということです。
できないところから勉強しないといけません。
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[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Q線形です (1)を x+3y-2z=0 x-2y+4z=0 x^2+y^2+z^2=1をもちいて 答

線形です
(1)を
x+3y-2z=0
x-2y+4z=0
x^2+y^2+z^2=1をもちいて
答えが+-の答えになりました
(2)では外せきが8,-6,-5となり
おおきさの5ルート5で割ると
+-の答えにはなりませんでした
どちらが正しいのでしょうか?

Aベストアンサー

外積からでてきた単位べクトルは、外積の定義から、ベクトルa、bに垂直ですよね。
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Qx+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

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 ★x+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

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e^(x+y)=e^x*e^y → Z=X*Y
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>分配法則の*と+を逆にしたような感じですが

まさにその通りです。入れ替えて見てください。

>√(a*b)≧(a+b)/2

通常の相加相乗平均とは逆ですね。


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