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第一象限内にあって二つの曲線y=x^2 -1 , x^2+y^2+2√3y-1=0と二つの直線
y=3,x=0
とで囲まれる図形をDとする。

(1)Dの面積を求めよ。

(2)Dをy軸に関して一回転して
得られる回転体の体積を求めよ。

この問題がまったくわかりません。
わかりやすく教えてください

A 回答 (3件)

x^2+y^2+2√3y-1=0 より


x^2+(y+√3)^2=4
中心 (0,-√3)、半径 2

(1) 図のように、点Pから点Uをとると、
(Dの面積)=(台形PQRTの面積)-(おうぎ形PQUの面積)+(図形QRSの面積)
ここで、
(台形PQRTの面積)=1/2×{3+(3+√3)}×1=3+(√3/2)

△OPQは、OP:PQ:QO=√3:2:1 だから
∠OPQ=30°
よって、
(おうぎ形PQUの面積)=π×2^2×(30/360)=π/3

(図形QRSの面積)=∫[1→2]{3-(x^2-1)}dx=∫[1→2](4-x^2)dx
=[4x-(1/3)x^3][1→2]={8-(8/3)}-{4-(1/3)}=5/3

したがって、
(Dの面積)=3+(√3/2)+π/3+5/3=(28+3√3+2π)/6


(2)(求める体積)=(図形OQRTをy軸まわりに1回転した体積)-(図形OQUをy軸まわりに1回転した体積)
ここで、
(図形OQRTをy軸まわりに1回転した体積)
=∫[0→3]πx^2dy
=π∫[0→3](y+1)dy
=π{(1/2)y^2+y}[0→3]
=π{(9/2)+3}
=(15/2)π

(図形OQUをy軸まわりに1回転した体積)
=∫[0→2-√3]πx^2dy
=π∫[0→2-√3](-y^2-2√3y+1)dy
=π{-(1/3)y^3-√3y^2+y}[0→2-√3]
=-π{(1/3)(2-√3)^3+√3(2-√3)^2-(2-√3)}
=-π{(1/3)(8-12√3+18-3√3)+√3(4-4√3+3)-2+√3}
=-π{(26/3)-5√3+7√3-12-2+√3}
=-π{-(16/3)+3√3}
={(16/3)-3√3}π

したがって、求める体積は、
(15/2)π-{(16/3)-3√3}π={(13/6)+3√3}π

になるのではないでしょうか。
「第一象限内にあって二つの曲線y=x^2 」の回答画像3
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難しい、、、分かりません(;´Д`)

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解いてませんが、


この問題が解らないのか、この問題以前の所からさっぱり解らないのか、明確にして下さい。
この問題が解らないなら、どこまでのことをやってみて、どこから解らないのか、明確にして下さい。
なお、x^2+y^2+2√3y-1=0が円の方程式だということに気付いているでしょうか?

教科書の、積分とは、という辺りで、幅がΔxの短冊というか台形というか、それを積み重ねていく、という話があったと思います。
基本はその通りで、短冊を積み重ねていくのです。
幅がΔxの短冊を考えるのであれば、短冊の高さの式がどうなるのかを出せばいい。
短冊の高さかけるΔx、で短冊の面積が表せます。
それを、インテグラルしてやる、積み重ねてやると(短冊の高さの式をf(x)とすると)、
∫f(x)dx
となるのです。ここからはどこかで見たことがあるでしょう。
後はこれを計算してやればいい。
短冊の高さはどうなっているのか!式で表せ!ってことでしょう。

回転体は、短冊の代わりに、千切りの大根みたいな物を想像すると良いでしょう。
幅がΔyの短冊、ではなく薄切りたくあん。
薄切りたくあんの面積の式は何か。
回転体ですから円ですよね。円の面積は、半径の二乗かけるπ。
つまり、半径の式は何か、って事です。
ただし、おそらく中空になるんでしょう。ドーナツ状。
外側の円から内側の円の面積を引いてやればいい。
そして同様に、その面積×Δyが薄切りたくあんの体積で、そいつをインテグラルしてやればいい。
∫g(y)dy
たくあんの面積の式はどうなっているのか!ってことでしょう。

んじゃぁ、この、どこからできないのか、ということです。
できないところから勉強しないといけません。
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=(x²-y²)²-(4xy)²
={(x²-y²)+4xy}・{(x²-y²)-4xy}
=(x²-y²+4xy)(x²-y²-4xy)

⑵ x^4+4y^4
=x^4+4y^4+4x^2y^2ー4x^2y^2
=(x^4+4x^2y^2+4y^4)ー4x^2y^2
=(x^2+2y^2)^2ー4x^2y^2

a^2ーb^2=(a+b)(aーb)を利用して
=(x^2+2y^2+2xy)(x^2+2y^2ー2xy)

Qx^2+y^2=4{(x-9)^2+y^2}

x^2+y^2=4{(x-9)^2+y^2}
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|k-3|/√2 =1 ←これどういう意味?

これは、《 点と直線の距離の公式 》 を使っています。


点A(x₁,y₁) と 直線 ax+by+c=0 との距離dは

d=│ax₁+by₁+c│/√(a^2+b^2)

です。

x∧2+y∧2-4x-2y+3=0
(x-2)^2+(y-1)^2=2
より、円Cの中心は、点(2,1) です。
直線l を式変形して、
-x-y+k=0
となり、
これで、点(2,1) と直線 -x-y+k=0 との距離dは、
d=│-2-1+k│/√{(-1)^2+(-1)^2}=│k-3│/√2 ・・・・・①
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また、Cの中心をC,
Cとl の2つの交点をA, B,
線分ABの中点をM とする。
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CM=√AC∧2-AM∧2=1 ・・・・・②
になります。

d=CM なので、 ① と ② より
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