中学数学の問題

【添付しました図のように、合同な２つの平行四辺形ABCEとCEFGがあり、頂点Dは辺CG上にあります。線分BGと辺ADの交点をHとします。】

（問）AB＝3cm、BC＝5cmのとき、△HDGと△HBCの面積の比を、最も簡
単な整数の比で書きなさい。


☆この問題の【考え方】と【解答】を詳しく教えていただけないでしょうか？


よろしくお願い申し上げます。

No.2 ベストアンサー 回答者： banzaiA 回答日時： 2017/09/30 22:27

与えられた条件：AB=3、BC=5

昨日の証明で、AB=AH　　∴HD＝２
△GHD　∽　△GBC（HD∥BC、同位角が二つ）
よってGD:GC＝HD:BC＝２：５　∴GD:DC＝HG:BH=2:3　,　①

△HDGの面積をa △HBCの面積をb △HCDの面積をc とおく（　△HDG＝a △HBC＝b △HCD＝c　）
△HDG　と △HCD　において
高さは同じ（HからGCへの垂線）なので、面積の比は底辺　GD：DC　となる。
ゆえに a:c=2:3　　②　　（①より）

また　△HBC　と　△HCG　において
高さは同じ（CからBGへの垂線）なので、面積の比は底辺　BH：HG　=3:2 （　①より）となる。
△HBC：△HCG＝△HBC：（△HCD＋△HDG）＝b:(c+a)＝3:2　③
②より 3a=2c　　②’
③より　2b=3c+3a ②’を代入して　2b=5c ∴b:C=5:2 ④
②④より
a : b : c
2 : : 3
: 5 : 2
-----------
4 :15: 6
ゆえに a:c=△HDG : △HBC＝4:15

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2017/09/30 17:09

前の証明で、□ASCDは平行四辺形なので

AD∥BC
平行線を横切る線分の錯角は等しいので
∠ABH=∠AHB
∴△ABHは、
∠BAHを挟む2つの角、∠ABH=∠AHBであるので二等辺三角形である
従って、AB=AHとなる。
AB=3cmであるからDH＝5cm-3cm=2cmとなる

AB∥CGで
∠BADと∠GDHは錯覚の関係にあるので、∠BAD＝∠GDH
また∠AHBと∠GHDは対頂角の関係にあるので等しい。
従って△ABHと△DHGは2角が等しいので
△ABH∽△DHGである。
それぞれの辺の長さの比率は　AH:HD=3：2であるから、
面積比はその2乗の比率　9:4　になる。

昨日の問題もそうなのですが、問題の中で左側の平行四辺形の意味が今のところないですね。