曲がった空間について教えて下さい。

重力がないときは
η_μν = {{-1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0,1}};
らしいです。
ｇ_μνは、例えば 場所によれば
{{-1,0,0.6/√2,0},{0,0.8,0,0},{0.6/√2,0,1,0},{0,0,0,1}}
とかの値になることもあるのでしょうか？

更に言えば、
ｇ_μνは、
{{-∞,-∞,-∞. -∞,-∞},{-∞,-∞.8,-∞,-∞},{-∞,-∞, -∞,-∞},{-∞,-∞,-∞, -∞}}
から
{{∞,∞,∞. ∞,∞},{∞,∞.8,∞,∞},{∞,∞, ∞,∞},{∞,∞,∞, ∞}}
まで、制限なく、ありとあらゆる値をとることができるのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 

  お返事有難う御座います。
  
  ｇ_μνが、
  {{-1,0,0.6/√2,0},{0,0.8,0,0},{0.6/√2,0,1,0},{0,0,0,1}}
  は、単にミンコフスキー時空で"斜交座標系"を設定しているに過ぎす、つまり重力はどこにもないのでしょうか？
  
  計量が、
  {{-1, 0, 1.22, 0.83}, {0, 0.8, 0, 0}, {1.22, 0, 0.6, 0}, {0.83, 0, 0, 1}};
  の場合は、如何でしょうか？

    補足日時：2015/12/20 20:50

• 

  お返事有難う御座います。
  
  >なんてのはミンコフスキー時空には変換できないんじゃないかなぁ？
  >だから、数学的にはともかく物理的に意味がある時空には制限がありそうですね
  
  
  解かりました。以下は如何でしょうか？
  
  ｇ_μνが、
  {{-1,0,0.6/√2,0},{0,0.8,0,0},{0.6/√2,0,1,0},{0,0,0,1}}
  は、単にミンコフスキー時空で"斜交座標系"を設定しているに過ぎす、つまり重力はどこにもないのでしょうか？
  
  計量が、
  {{-1, 0, 1.22, 0.83}, {0, 0.8, 0, 0}, {1.22, 0, 0.6, 0}, {0.83, 0, 0, 1}};
  の場合は、如何でしょうか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/12/20 23:08

• 

  ご回答有難う御座います。
  
  計量テンソルが、例えば　シュバルツシルト解のようなものは、接続係数、曲率が計算出来ます。
  
  それは、計量テンソルを微分することができるからです。
  
  http://homepage2.nifty.com/eman/relativity/schwa …
  
  {{-1, 0, 1.22, 0.83}, {0, 0.8, 0, 0}, {1.22, 0, 0.6, 0}, {0.83, 0, 0, 1}};
  
  は、微分が出来ませんので、接続係数が求めることが出来ません。従って曲率も解からないです。（計算できないです。）

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/12/21 22:54

• 

  計量テンソルが
  
  η_μν = {{-1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0,1}};
  
  でもなく
  
  斜交座標
  
  https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BA%A4 …
  
  でも、ないのなら、時空が曲がっている（つまり重力がある。）で、正しいのではないでしょうか？
  
  それとも、計量テンソル１箇所の測定では、時空が曲がっているか否かは判断できないのでしょうか？

    補足日時：2015/12/21 22:55

• 

  お返事有難う御座います。
  ＞というか、一点でのgμνなんてほとんど意味が無いですけど。
  やはり、そうなんですね。
  一般相対論の場合、一点でのgμν（実際は各１０地点で測定）では、何も求めることが出来ず微分（傾き）を知る必要がるので、ニ点以上のgμνを測定する必要があるのですね。
  量子力学の観測の場合も同様でしょうか？

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/12/22 18:14

No.5 ベストアンサー 回答者： ibm_111 回答日時： 2015/12/22 21:14

もとの質問文をよく読むと「場所によれば」って言ってますね。

申し訳ありません。

>ニ点以上のgμνを測定する必要があるのですね。

gμνは観測可能な量ではないんじゃないかと・・・（かなり自信なし）
電磁気学とのアナロジーで行くと
電磁気学　←→　一般相対論
？　←→　gμν
Aμ　←→　クリストッフェルシンボル
Fμν　←→　リーマン曲率テンソル
なので、Aμは観測不可能であることを考えれば、クリストッフェルシンボルも不可能なはすですが、
gμνが観測可能だとクリストッフェルシンボルも観測可能となってしまい、矛盾します。

>量子力学の観測の場合も同様でしょうか？

量子論の観測というと、波動関数を一点で観測できるかという話ですか？
波動関数の自乗なら意味がありますよね？
（しかし量子論はあまりうまく説明できる気がしないのでスルーの方向で）

この回答へのお礼

ご回答有難う御座います。

＞ gμνは観測可能な量ではないんじゃないかと・・・（かなり自信なし）
＞ 電磁気学とのアナロジーで行くと
＞ 電磁気学　←→　一般相対論
＞ ？　←→　gμν
＞ Aμ　←→　クリストッフェルシンボル
＞ Fμν　←→　リーマン曲率テンソル

「素粒子標準理論と実験的基礎」　長嶋順清著P33に、この対応関係が載っていますね。

＞ なので、Aμは観測不可能であることを考えれば、クリストッフェルシンボルも不可能なはすですが、
＞ gμνが観測可能だとクリストッフェルシンボルも観測可能となってしまい、矛盾します。

gμνの測定については、専門書には載っていないのですが、「相対性理論入門」内山龍雄著（岩波新書）
P156あたりに説明されています。
再度、読み直すようにします。

＞ 量子論の観測というと、波動関数を一点で観測できるかという話ですか？
＞ 波動関数の自乗なら意味がありますよね？

この点も再度、考えるように致します。

本当に有難う御座いました。

お礼日時：2015/12/23 11:27

No.4 回答者： ibm_111 回答日時： 2015/12/22 06:15

>それとも、計量テンソル１箇所の測定では、時空が曲がっているか否かは判断できないのでしょうか？

えーと、

{{-1, 0, 1.22, 0.83}, {0, 0.8, 0, 0}, {1.22, 0, 0.6, 0}, {0.83, 0, 0, 1}};

は時空のある一点での値なのですか？
それなら、Yes
というか、一点でのgμνなんてほとんど意味が無いですけど。

No.3 回答者： ibm_111 回答日時： 2015/12/21 21:08

>計量が、

>{{-1, 0, 1.22, 0.83}, {0, 0.8, 0, 0}, {1.22, 0, 0.6, 0}, {0.83, 0, 0, 1}};
>の場合は、如何でしょうか？

リーマン曲率テンソルを計算してみてください。
なお、wikipediaにそのものずばりの記事があります。
「リーマン多様体のある領域がユークリッド空間である必要十分条件はリーマン曲率テンソルが０」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC …

本当に必要十分か・・・？という気もしますが。

No.2 回答者： ibm_111 回答日時： 2015/12/20 22:32

重力の実体は結局のところリーマン曲率テンソルで表現されますから、計算してみると分かります。

自明に0です。とはいえ、言われて気づきました。

>ありとあらゆる値をとることができるのでしょうか？

計量が全て0、すなわち
{{0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0}};
あるいは、
{{-1, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0}};
{{0, 0, 0, 0}, {１, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0}};
なんてのはミンコフスキー時空には変換できないんじゃないかなぁ？

だから、数学的にはともかく物理的に意味がある時空には制限がありそうですね

No.1 回答者： ibm_111 回答日時： 2015/12/18 23:10

>とかの値になることもあるのでしょうか？

そりゃああるでしょう。

>制限なく、ありとあらゆる値をとることができるのでしょうか？

本当に発散するケースは特異点ぐらいしかないと思いますが、
開区間（−∞,∞)の値をとるg_μνはいくらでもつくれます。
実際、シュバルツシルト解は特異点に近づくにつれて値が発散します。