重力場が保存力場であることの証明について

（通常のベクトルはF↑のように矢印をつけて書き、∇はそのまま書いています）

ある力場F↑が保存力場であるための条件としてよく
　∇×F↑＝0↑
が用いられていますが、この証明にストークスの定理を用いていることから、厳密には
　F↑の定義域が単連結である　かつ　∇×F↑＝0↑
であることを知りました。
（実際に∇×F↑＝0↑の判定だけでは不十分な例も確認しています）

そこでこの立場からもう一度重力場が保存力場であることを考えようと思ったのですが、
重力場は保存力とされているのにも関わらず、定義域が単連結ではありません。
では、重力場が保存力場であることを説明するにはどのようにしたら良いでしょうか？

質問者からの補足コメント

• まさにその質点を囲むような面が単連結でないと考えていました。
  先に申し上げた「不十分な例」というのが、
  　F↑=(
  　　-y/(x^2+y^2),
  　　x/(x^2+y^2),
  　　0
  　)
  だったのですが、これがまずいなら重力場もまずいのではと考えた次第です。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/02/09 19:01

No.2 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/02/09 19:28

>まさにその質点を囲むような面が単連結でないと考えていました

単連結とはその領域内の任意の閉曲線で囲まれる
曲面が存在すること。つまり、領域内の任意の閉曲線に対し
ストークスの定理の積分が、適当な面を選べば
実行可能であるということです。

不連続な点があるだけでは、単連結は破れません。

この回答へのお礼

言われてみると確かにその通りでした。
二次元平面のイメージが先行してしまい、
すべての閉曲線で成り立つことと、すべての曲面で成り立つことがごっちゃになっていたようです。

ありがとうございました。

お礼日時：2016/02/09 23:38

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/02/09 18:00

>重力場は保存力とされているのにも関わらず、

>定義域が単連結ではありません。

単連結でない?

なぜそう考えるのか説明に下さい。

重力場が定義出来ない、或いはrotが非ゼロの領域というと、
質点くらいしか思いうかびませんが、これとて単連結を壊すことは
出来ないと思います。