リーマン幾何学と相対論

宜しくお願いします。東大なんか出て、学位なんか貰っちゃいましたが、物理が凄く苦手。
入試は化学と生物、電磁気学のマクスウェルの方程式が出て来ると背中の毛がよだちます。
数ヶ月以前「ヒルベルト空間と一般相対論」を教えて下さいと、アホな質問をして。
「無関係」だと知りました。リーマン幾何学の方ですね、調べずに質問した私は大バカです。
リーマン幾何学と一般相対論の関係を「愕然とする程簡単に」教えて下さい。
なお、「Ｅ-manの物理」も真面目に読み始めましたので、「そこを読め」は有り難いですが、
多分何とかたどり着くでしょう、たどり着くだけで、理解は出来ません。
知りたい理由も追い追いE-man様に書いてあると引用まで頂きましたが、
特殊相対論と加速度運動で、既につまずきガックリしてしまいました。
なぜ重力が特別なのかが、知りたいのです。どこかの誰かが「重力と加速度」を同一視する、
と言ったのを鵜呑みにしたからなんです。
お手柔らかに、お願いします。

No.1 回答者： lv4u 回答日時： 2016/02/14 17:57

>>リーマン幾何学と一般相対論の関係を「愕然とする程簡単に」教えて下さい。

一般相対性理論を説明するためのツールとして、リーマン幾何学を使ったっていうことでしょう。
だから、「Ａさんの家が火事になったのは、Ｂさんが放火したからだ」というような意味での関係でいえば、前回の質問と同様に、「無関係」だといえるでしょうね。
でも、「Ａさんの土地面積を調べるのに、ピタゴラスの定理を使った」というような関係なら、全く無関係だとはいえませんよね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
このお答えですと、強い結びつきも必然性も無い、他の表記法ないし説明法もある。
と取れますが、それで良いのでしょうか？もしその解釈が間違っていなければ、現在「標準的な表記法」はどんなものなのでしょうか？

お礼日時：2016/02/15 21:09

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/02/15 08:43

場の記述に無いと困るものかな?

電磁気学でベクトル解析が無いと困るのと同じ。
無くても記述できるかもしれないけど
とんでもない回り道になりそう。

この回答へのお礼

ありがとうございます、少しずつ進みます。

お礼日時：2016/02/15 21:02

No.3 回答者： uen_sap 回答日時： 2016/02/16 16:59

何を質問されているのか不明だが、数学と物理は一心同体であることはご存知の通りです。

どんな立派な物理理論も数式標準化して、やっと理論として成立する、と言えます。
一般相対論を数式で表現しようとする時、曲面の幾何学でありリーマン幾何学が最適であったと言うことであってそれ以上の意味はないと思うのですが？
この数式標準化はアインシュタインだけでなく、当代一流の数学者も手掛けています。
厳密にはアインシュタインより早く数学の専門家が数式化に成功はしていたようです。
公表のタイミング、一般相対論の提案、完成におけるアインシュタインの努力、位置づけを考えると、数学者が一歩を譲ったのだろうと、私は思っています。数学者も立派ですね。

この回答へのお礼

「数学と物理学は一心同体では無い」ということは、大学教養の物理の教科書の冒頭に、しつこい程書いてあります、両者の相同は偶然に過ぎない。あなたは高校生レベルの知識しか持って居ない。

お礼日時：2016/09/18 01:14

No.4 回答者： puyo3155 回答日時： 2016/02/16 19:51

一般相対性理論は、質量があると空間が歪み、それによって重力が発生するという理論ですね。

よく例にあげられるのは、次元をおとした話です。

①　バケツにビニール袋を張った、２次元平面を考える。
②　そこに、鉄球を置く。
③　ビニール面は歪む。つまり２次元平面が質量によって歪んだ。
④　そこに、ビー玉を置く。すると、歪みにそって、ビー玉が空間を曲がって進み、やがて鉄球にくっつく。
⑤　それが重力の正体だ。

とまあ、ざっと言えばこんな感じです。このとき、３次元にいる我々からは、③の次元平面が歪んだのは見てすぐ分かります。では、２次元にいた人（２次元人？表面をはう蟻？）には、それがどうすればわかるでしょうか？　それは、その２次元面に三角形を書いて、内角の和をはかればいいのです。平なら１８０度。球の表面なら１８０度を超える。逆なら、１８０度以下になります。つまり、その方法を使えば、１８０度との差が大きければ大きいほど、その空間が歪んでいることが、数学的に表現されたともいえます。そして、３次元から見なくとも、２次元にいたまた、歪みを表現できるわけです。

それを我々の住む世界で考えた時、三角形の内角の和よりは格段に複雑になるけど、リーマン幾何学を使えば似たような発想で

・　３次元の空間にいながら（４次元の時空にいながら）
・　質量によって発生した空間の歪みを数学的に表現できる。
・　結果、重力を既述するのになくてはならないツールとして使われいる。

です。端折って説明すればこんな感じです。

この回答へのお礼

有り難うございます。

お礼日時：2016/09/18 01:14