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A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
>馬鹿でスイマセン
>(-a^2+4a-1/4)-(-a^2+2a-1/4)=2a
>をなぜするかわかりません。
横から失礼します。
関数f(x)は、x^2 の係数=1>0なので、下に凸の放物線です。
従って、定義域が指定されていない場合に最小値となるのは、頂点のときですね。
x≧a のときと、x<a のときで場合分けしたわけですが、それぞれの式が違いますよね。
つまり、f(x)のグラフは
x≧a側の放物線とx<a側の放物線、2つの放物線を重ねた形になります。
2つの放物線を重ねた形なので、頂点が2個考えられるわけです。
なので、どちら側の頂点が下(最小)なのかを調べる必要があります。
-a^2+4a-1/4 は、x≧a側の頂点のy座標
-a^2+2a-1/4 は、x<a側の頂点のy座標
です。
これらの差をとれば、どちら側が最小かが分かります。
つまり、
(-a^2+4a-1/4)-(-a^2+2a-1/4)=2a≧0 ならば
(-a^2+4a-1/4)≧(-a^2+2a-1/4)なので、x<a側の頂点が最小。
(-a^2+4a-1/4)-(-a^2+2a-1/4)=2a<0 ならば
(-a^2+4a-1/4)<(-a^2+2a-1/4)なので、x≧a側の頂点が最小。
となるわけです。
>あと、それで最小値の範囲がわかるのかわかりません
これは、x≧a側の放物線とx<a側の放物線の軸の位置関係を考えれば分かります。
x≧a側のグラフの軸は x=1/2
x<a側のグラフの軸は x=-1/2
都合のいいことにどちらもaを含んでおらず一定です。
つまり、aが何であろうと、常にx≧a側の軸はx<a側の軸より右側にあることがわかります。
つまり、x≧a側の放物線は、x<a側の放物線より常に右側に位置します。
これによって、どちらかの頂点がf(x)の最小値であることがいえるわけです。
(もし、位置関係が逆になった場合は、二つの放物線の交点や、境界であるx=aのときに最小となり得ます)
あとは、#1さんが詳しく書かれてますので割愛します。
この回答への補足
それと、解説にこんなことが書いてありました
a<-1/2,-1/2≦a<0,0≦a<1/2,1/2≦aのそれぞれの場合のf(x)のグラフが右図のようになるから、
m(a)=-a^2+2a-1/4(a≧0),-a^2+4a-1/4(a<0)
になると書いてありました、
a<-1/2,-1/2≦a<0,0≦a<1/2,1/2≦a
この場合分けのグラフはなんの意味があるんですか?
2人ともやってなかったのでどうしてなのかなと思いまして、質問します。。
No.1
- 回答日時:
(1)
『グラフの形が解れば少しは簡単になりますが
なかなか式だけではわかりにくいので
とりあえず場合分けをします』
(ア)x-a≧0 すなわち x≧a のとき
f(x)=x^2-(x-a)-a^2+3a
=x^2-x-a^2+4a
=(x-1/2)^2-a^2+4a-1/4
(イ)x-a<0 すなわち x<a のとき
f(x)=x^2-(-(x-a))-a^2+3ax<a
=x^2+x-a^2+4a
=(x+1/2)^2-a^2+2a-1/4
『x=aを境に場合分けするので、x=aの左右でグラフを書き分けなければいけません
そうするとaの値によっては谷が2つ出来るのですが、次にその谷のうちどちらが最小値なのかを判別します』
(-a^2+4a-1/4)-(-a^2+2a-1/4)=2a
より
a≧0のときf(x)は
x=-1/2で最小値 -a^2+2a-1/4 をとり
a<0のときf(x)は
x=1/2で最小値 -a^2+4a-1/4 をとる
『-a^2+2a-1/4をとるときx<aの条件が付きますが
a≧0より、最小値をとるx=-1/2では常にx<aとなります
もう一つの式も同様です』
以上より
m(a)=-a^2+2a-1/4(a≧0),-a^2+4a-1/4(a<0)
(2)
『aが正のとき、負のときについて(1)で式が出ているのであとは平方完成して最大値を求めるだけです』
(ア)0≦a≦2のとき
m(a)=-a^2+2a-1/4
=-(a-1)^2+3/4
よってa=1のとき最大値3/4をとる
『a=1が0≦a≦2の範囲に含まれていることがポイントです』
(イ)-1≦a≦0のとき
m(a)=-a^2+4a-1/4
=-(a-2)^2+15/4
よってa=0のとき最大値-1/4をとる
『a=2は-1≦a≦0の範囲に含まれないのでa=0のときが最大になります、注意しないと間違えます』
以上よりm(a)はa=1のとき最大値3/4をとる
この回答への補足
馬鹿でスイマセン
(-a^2+4a-1/4)-(-a^2+2a-1/4)=2a
をなぜするかわかりません。
あと、それで最小値の範囲がわかるのかわかりません
PSでもなんとなくわかってきた気がします。。
それ以外はよく理解できましたあと一歩です
ご協力お願いします。。
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