大中小のサイコロの積が6の倍数になる確率

3の倍数の確率が152/216は分かってるという前提で、3が1回以上出てなおかつ積が奇数の場合を求めようとして
1/6×1/2×1/2×3C1（3の目の場合×奇数の場合×奇数の場合×3の目が大中小のいづれかなので3C1）
=27/216と計算し
152-27＝1２5で125/216となったのですが
答えは133/216となっていました。
この計算の過程でどこが間違ってしまったのでしょうか

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/04/10 01:32

3 が 2回以上出てくる場合を数えすぎていないか?

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/04/10 10:01

3の倍数であっても6の倍数ではない、という組合せを数えればよいのです。

こういう場合には、「確率」で計算するのでななく、「場合の数」で計算した方が間違いが少ないと思います。

「3」を１つ以上含むもので、６の倍数にはならない（偶数を含まない）ものは

3, 1, 1　→3個のサイコロでこの組合せになるのは 3C1 = 3 通り。
3, 3, 1　→3個のサイコロでこの組合せになるのは 3C2 = 3 通り。
3, 3, 3　→3個のサイコロでこの組合せになるのは 3C3 = 1 通り。

5, 3, 1　→3個のサイコロでこの組合せになるのは 3！ = ６ 通り。
5, 3, 3　→3個のサイコロでこの組合せになるのは 3C2 = 3 通り。
5, 5, 3　→3個のサイコロでこの組合せになるのは 3C1 = 3 通り。

合計で19通り。

152 - 19 = 133
です。

質問者さんは、
（１）１つは「３」に固定
（２）他の2つは「奇数＝1、3、5」に固定
して場合の数を計算し、
（３）各々のケースで（１）の「３」のサイコロが「大中小」の3通り
ということで計算しています。
　これは（２）が 3 × 3 = 9 透り、（３）が3通りなので、合わせて
　　　9 × 3 = 27 透り
です。

　しかい、これだと、下記の場合を重複カウントしています。

（Ａ）（２）で他の2つとも「3」の場合は、「3, 3, 3」なので、上記（３）は３つのサイコロを通じて「1通り」しかない。
　　これで「2通り」を余分にカウントしている。

（Ｂ）（２）で他の2つのうち一方が「3」の場合、例えば「3, 3, 1」と「3, 1, 3」は、この2ケースを合わせて並び方が「３通り」しかない。「3, 3, 5」と「3, 5, 3」も同じ。（「3」が２つになるのは、この4ケースのみ）
　　これで「6通り」を余分にカウントしている。

　以上より、27通りのうち、8通りは重複カウントしているので、差し引き「19通り」が「3の倍数だが、6の倍数にならない」場合の数です。

　答が分かっていればそう考えられるのですが、答が不明のところでそういった「全てのあり得るケース」を抽出するのは、なかなか難しいですね。
　「全て書き出してみる」というのが一番の基本でしょう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
なるほど、３３３と３○３のときに３C1では重複していましたね。
全部書き出すのは少し時間がかかり過ぎてしまいますし、疲れてしまうのでちょっと・・・。

お礼日時：2016/04/10 12:27

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/04/10 11:40

>1/6×1/2×1/2×3C1

この式だと 例えば 333 は3回数えてしまいますね。3も奇数なので。

①3が3個
②3が2個と3以外の奇数1個
③3が1個と3以外の奇数2個

というように分けないと駄目です。

①1 ②2×3=6 ③4×3=12 合計19
152-19=133

私の個人的な好みでは、泥臭いけど堅実に

①6が3個→1
②6が2個→5×3=15
③6が1個→5×5×3=75
④3が2個+2又は4が1個→2×3=6
⑤3が1個+2又は4が2個→4×3=12
⑥3が1個+2又は4が1個+1又は5が1個→4x6=24

①~⑥の和=133

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
確かにその3つに分ければ重複はないですね。①は３C3②は３C1③も3C1ですよね。単体としてこの問題が出た場合は1～6のパターンもありですね。
分かりやすかったです。ありがとうございます

お礼日時：2016/04/10 12:32