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No.1
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存在しません。
x^x+y^y=z^zを満たす存在すると仮定するとz>x,z>y,z>2は明らか。y≧xとすると
z^z=z*z^(z-1)>z*y^(z-1)>2*y^y>y^y+y^y≧x^x+y^y
となり矛盾する。
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