行列

この式変形が分かりません
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No.2 回答者： think2nd 回答日時： 2016/04/21 00:15

あなたが行列と複素数もそれぞれに、基礎知識があるという、前提で私が答えると、以下つまらぬ回答になります。

　基礎知識とは
　　　1.複素数zともう一つの複素数ωをかけたωzは複素平面上において、このωが原点を中心にしてΘ回転した複素数にうつります。
　　　2.　座標平面上において点P(x,y)を,原点を中心にΘ回転したときの点をQ(X',y')とおくと、
　　　　　　　　　(x')　　(cosΘ　-sinΘ)(x)
　　　　　　　　　(　)=　(　　　　　　)　　　←　ここの行の(　)　(　　　　　)は無視してください=を置きたいだけです。
　　　　　　　　　(y')　　(sinΘ　cosΘ)(y)　　
　　　
　　　これだけです。
　まとめるとこの複素数のzは　かけると、他の複素数に原点の周りにΘ回転させる操作をします。これはちょうど
　　2次の正方行列A=({cosΘ　-sinΘ},{sinΘ　cosΘ})の操作そのものです。この2つの操作は複素平面上か、座標平面上かで、土俵が違いますが、同一の操作です。
　　だから変形の仕方は2から1に向かってやれば簡単でしょう。
　　　({cosΘ　-sinΘ},{sinΘ　cosΘ})=({cosΘ　0},(0　cosΘ)}+({0　-sinΘ},{sinΘ　0})
　　　　　　　　　　　　　　　　　　=cosΘ({1　0},{0　1})+sinΘ({0　-1},{1　0})
　　　　　　　　　　　　　　　　　　=cosΘE+sinΘJ
　1から2を導こうとすると、最初の一歩が、踏み出せないのでは?

No.1 回答者： uyama33 回答日時： 2016/04/20 12:20

これは、虚数単位　i　を使わないで、

実数の世界の中に複素数を実現することを目標にした考え方です。
実数のままでは上手く行かないので、実数を4個並べて作った行列を使います。

そこで、
a+biの代わりに、
aE+bJ を作ります。

こうすると、
複素数の世界が、行列の集合　{aE+bJ|a,bは実数｝のなかに移ってきます。
上手く移っているかは、
（a+bi）+(c+di)=(a+c)+(b+d)i に対しては、
（aE+bJ）+(cE+dJ)=(a+c)E+(b+d)J　が対応します。

（a+bi）*　(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i に対しては
（aE+bJ）*(cE+dJ)=aEcE+aEdJ+bJcE+bJdJ
=acE+adJ+bcJ+bdJJ
=acE+adJ+bcJ+bd(-E)
=(ac-bd)E+(ad+bc)J
となり、計算結果もぴったり合うので

a+bi　は　aE+bJ と同じものだと考えることが出来る。

これだと、2乗して-1　となるもの　i を無理やり受け入れる必要がないという。ことになる。
これを逆に考えて、
a+bi　は　aE+bJ を簡単に省略して表現したものだと言えば、i の解釈がすっきりする。
ただし、
このときは、
a　＝　a+0i
の成立に関しての説明が必要になる。