地球に開けた穴の中の質点の動き（自転あり）

緯度φの地点で地球回転軸に垂直に滑らかな穴をあけます。このとき穴の中の質点が地球の万有引力と遠心力のために単振動することを証明せよ、という問題なのですが・・・答えが用意されていないし、運動方程式をどのように立てればいいのかもよくわかりません；
とりあえず与えられているのは、地球半径R、地上での重力加速度ｇ、回転角速度ωです。
お願いします！

No.12 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2004/07/15 00:26

bilateraria165 さんご自身の補足(No.5)で尽きていると思います．

他の方もご指摘の通り
> 地表では遠心力と重力が釣り合っていると考えているので
がまずいところです．
こう考えられた理由は，多分以下のようなものでしょう．
地表に置いたものは動かないから
(地表から飛び出していかないし，地面にめり込んでも行かない)，
力が釣り合っているはずだ．
でも，物体と地面は接していますから，
物体が地球に引かれているのと同じ力で地面が物体を押し返していることになります．
他の方もご指摘のように，もし遠心力と重力が釣り合っているのなら，
手にもった物体からそっと手を離しても空中に浮いたままになっているはずです．

この問題は回転座標系での運動の問題ですから，
本来は見かけの力として遠心力とコリオリ力を考える必要があります．
もし角速度が時間変化するなら，さらに考えるべき見かけの力が増えます．
今の話は軸に垂直な穴というところに特徴があり．
実はコリオリ力は穴の壁面に垂直に作用します．
つまり，質点は壁面に押しつけられながら動くわけですが，
そこの摩擦は無いとしています(滑らかな穴，と書いてある)．
地球の重力についても同様で，重力を穴方向の成分と壁面に垂直な成分とに分け，
後者は穴方向の運動には関係ない(コリオリ力のときと同様な理由)と
しているのです．

それから，地球内部での質点に対する重力を計算するときに，
地球内部の質量密度は一定である，という仮定が入っています(No.4 でコメントされています)．
中心部の方が密度は高いと思いますが，そこらへんは目をつぶっていますね．

No.7 の bamboojump さんご紹介のスレッドは気づきませんでした．

No.10 の cocksan さん：
> ところで専門家ってなんだろう?ｗ
> 物理学者？教師？自称?

私が「専門家」にマークしたからかな？
ここのサイトでは別に「専門家」に対する規定も審査もありませんから，
一般的には自称でしょうね．
ノーベル賞もらった湯川秀樹です，と称したってわからないわけです(わかるって！)
私のことに関しては，回答者の siegmund をクリックすると，
簡単な自己紹介と回答履歴が見られます．

自称ですから，回答が専門家として信頼するに足るものであるかどうかは，
同じＨＮを使い続けて蓄積された回答履歴の内容から判断するより仕方がありません．

「一般人」と控えめでも，こりゃすごいや，と思う方は何人かおられます．
stomach○○○ さんとか，grothen○○○○○さんとか，
私の回答に関するコメントを拝見して何度冷や汗をかいたことか(^^;)．

最後は雑談になりました．

この回答へのお礼

詳しい回答ありがとうございます！自分の大学の先生にも聞いてみたのですが、重力加速度に比べるとRω^2の値は0.3％程度しかないようですね。当然等しくなるわけもないはずです。
なお、この問題では最初からコリオリ力を無視する、という一文がありました。最初の質問に載せるのを忘れてしまっていました。失礼しました。

お礼日時：2004/07/15 07:41

No.11 回答者： cocksan 回答日時： 2004/07/14 07:02

もしも、どーしても納得が出来ない場合は、

赤道上（一番遠心力が大きくなる）で
重力(万有引力)と遠心力の大きさを実際に計算して
みると良いのではないか。

重力加速度g=9.8[m/s^2]

遠心力F=mrω^2より、加速度はa=rω^2
r=R=6400[km]=6.4×10^6[m]
ω=2π/1日=2π/(24*60*60)=7.3×10^-5[rad/s]
よって、
a=3.4×10^-2[m/s^2]

明らかに
a<<g
である。

この回答へのお礼

実際に計算してみると、確かに値が大きく離れていました。万有引力と遠心力は釣り合わないのですね。ありがとうございました。

お礼日時：2004/07/15 07:06

No.10 回答者： cocksan 回答日時： 2004/07/14 03:46

はぅ！問題読んでなかったｗ

穴はてっきり地球の中心を貫通すると思ってたよｗ

と言うことで修正を

穴を貫く座標軸を原点で地軸と交わるようにとる。
そして、質点と地球の中心をむすんだ線と
地軸の成す角をθとする。

このとき、(x,θ)とrの関係は
x=rsinθ　→　r=x/sinθ

半径rの点で質量m質点の受ける万有引力は
F(r)=-mgr/R
F(x,θ)=-mgx/Rsinθ

ここで、これは地球の中心方向向きだから、
x軸方向の成分だけ取り出すと
F1(x)=F(x,θ)*sinθ=-mgx/R

軸から距離xの点で質量mの質点の受ける遠心力は
F2(x)=mxω^2

よって、質点の受ける力の和は
F=-mgx/R+mxω^2

で、運動方程式は
md^2x/dt^2=-m(g/R+ω^2)x

d^2x/dt^2=-(g/R+ω^2)x

ここで、
k:=(g/R+ω^2)
とするとか何とかして
d^2x/dt^2=-kx
に持ち込んだ後、単振動の式を解いて、
最後にkに代入すればいいです。

あと、地球上面で重力（万有引力）と遠心力は釣り合
っていません。
なぜなら、
『釣り合っている』＝『力が働いていない』
とみなせるからです。

シーソーで同じ体重の子供が両側に乗っている状態を考えます。
どちらにも動かない。そして、少しでもどちらかに
力を加えたらその方向に動き出す。このとき、シーソー
は釣り合っているといいます。

いま、地球の表面で重力と遠心力が釣り合っていると
するならば、他に力が働いていなければ、肩の高さま
でボールを持ち上げて放すとボールは空中に静止しな
ければなりません。
しかし、実際にはボールは地面に落ちてしまう＝力が
釣り合っていないということです。

ところで専門家ってなんだろう?ｗ
物理学者？教師？自称?

この回答へのお礼

たびたびの回答ありがとうございます！自分の計算に自信がもてました（＾－＾）

お礼日時：2004/07/15 07:07

No.9 回答者： keyguy 回答日時： 2004/07/14 02:22

失礼しました

補足を見てみれば答えは出てましたね

G・M/R^2=gと4/3・π・R^3・ρ=M
を使えば両者は同じ式になるます

地表では遠心力と重力が釣り合ってると考えているので：
そんな状態ならば赤道上にいる人はスペースシャトルの中にいるような状態になります

No.8 回答者： keyguy 回答日時： 2004/07/14 02:02

地球を密度ρ（一定）の球とし

質点の質量をｍとし
万有引力定数をＧとし
穴面の摩擦はないとし
回転軸から質点の距離をｘとし
地球中心から質点までの距離をｒとし
地球の自転角速度をω（一定）とすると
質点に働く遠心力は回転軸→質点向きに
m・x・ω^2
質点に働く万有引力の回転軸→質点向き成分は
-G・4/3・π・(r^2+x^2)^(3/2)・ρ・m/(r^2+x^2)・x/√(r^2+x^2)
=-4/3・G・π・ρ・m・x
よって質点に回転軸→質点向きに働く力は
-(4・π・G・ρ/3-ω^2)・m・x

きれいな単振動ですね
近似では有りません！

No.7 回答者： noname#7175 回答日時： 2004/07/14 00:41

過去ログを参考にするときは自分が高得点のスレを使いたいけどヘタレな自分は辛いです。

参考までに見てくださいね。

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=853335

これは穴の壁にこすれて中心で止まってしまうんだけど、今度のバージョンは穴の壁がなめらかになったんですね。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=853335

No.6 回答者： siegmund 回答日時： 2004/07/13 23:54

問題自体は多少簡単化してありますが，

周辺の面白い話が載っているスレッドとして
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=817077
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=93834
があります．
ご参考まで．

この回答への補足

アドバイスありがとうございます！
参考にしたいと思います。
ところで、自分の考えをNo.5さんへの補足に書いてみました。ところがこの考えでは上手くいきません。
siegmundさんは専門家のようなので是非、貴方の意見をお教えいただけないでしょうか。

補足日時：2004/07/14 01:48

No.5 回答者： cocksan 回答日時： 2004/07/13 23:04

えと、#2のeatern27さんがほとんど答えを言ってます。

まず、最低条件として、
d^2x/dt^2＝-kx　　　(k>0)
が単振動を表してるのは分かるかな？

これが分かるなら、話は簡単です。

eatern27さんもおっしゃってるように、
万有引力は、重心の位置から半径rの中にある質量を
考えるので、地球の半径をR,質量Mとしたなら、
地表での質量mの物体が受ける万有引力は
F=GmM/R^2=mg　　　　<g=GM/R^2>
地球の中心から半径rの点で受ける万有引力は
F(r)＝GmM(r)/r^2
となる。

ここで、地球の密度ρはどこでも一定であるとすれば、
M(R)=M=ρ*(4πR^3)/3
ρ=3M/4πR^3
よって、
M(r)=ρ*(4πr^3)/3=Mr^3/R^3
結局、
F(r)=Gm/r^2*(Mr^3/R^)=GmMr/R^3=m*(r/R)*(GM/R^2)
F(r)=m*(r/R)g=mg(r)　　　<g(r)=(r/R)g>

つまり、万有引力によって半径rの点で受ける加速度の
大きさはg(r)。
これで万有引力の方はおしまい。

次に遠心力の方
地球は地軸を中心に回転しているので、質点の位置は
地軸からの距離としなければならない。
よって、質点が地球から半径rの位置にいるとき、
地軸と質点との距離はrcosφ

質点の回転速度は、
質点が地軸から、半径rcosφの位置にあって
地球が角速度ωで回転しているのでV(r)=ωrcosφ
よって、質点の受ける遠心力は、
m(V(r))^2/rcosφ=mrω^2cosφ
この遠心力は地軸と垂直な向きに働くが、実際には
穴の方向にしか運動できないので、穴の方向の
成分のみが効く。よって、
F2(r)=(mrω^2cosφ)*cosφ
F2(r)=mrω^2cos^2φ

つまり、遠心力によって半径r、緯度φの点で受ける
加速度の大きさはrω^2cos^2φである。

これで、二つの加速度の大きさが分かったから、
後は向きを考えて足せばOK。

半径rのままで式を解こうとすると、質点が中心を
越えて反対側に言ったときにおかしくなるので、
地球の中心を原点に、質点を落とした側を正にして
x軸を取ってやると、

運動方程式は
md^2x/dt^2＝-m(x/R)g+mxω^2cos^2φ
両辺mで割って、右辺のxをくくりだすと、
d^2x/dt^2＝-(g/R-ω^2cos^2φ)x=-kx

ここで、重力加速度g、地球の半径R、地球の角速度ω
波もちろん定数で、φは地球上で穴を掘る場所を一つ
決めれば、自動的に決まるのでkは定数。
地球上にいて、我々は時点の遠心力で吹っ飛ぶ
ようなことはないので、もちろんk>0ｗ

結局
d^2x/dt^2＝-kx

つまり最初にあげた式に帰着する。
よって単振動する。

どっかの大学入試の問題に自転のないver.が出てた気もしないではないが、どこだったか・・・

この回答への補足

長文の回答ありがとうございます！よもやこんなにたくさんの回答を頂けるとは・・・。

少し補足です。質問時に少し急いでいたのでやや不足したところがありました。

d^2x/dt^2＝-kx
この形に運動方程式を作れば単振動ということが示せるのは、実は理解できていました(^_^;)丁寧に教えてくださった方々に申し訳ないです。
問題はというと右辺をどのようにするか、という一点です。そこで一応自分の答えを作ってみたのですが・・・。

自分の回答はこうです。
穴を横から見たとき、質点から地球中心までの距離をrとすると質点と地球との万有引力f1が
f1=GM(r)m/r^2 M(r)=4πρr^3/3　
また地表では
　GM(R)m/R^2=mg ⇔ 4πρG=g/R
なので
　f1=mgr/R
一方、地軸と穴を貫く座標軸の交点を原点とし、質点の変位をxとすると当然、遠心力f2は
　f2=-mxω^2
ここで、穴を貫く座標軸と質点から地球中心への向きとで成す角をθとすると(質点が穴の中を動くならばθは変化するはず・・・地表に質点があればφ、原点にあるならπ/2というように)、万有引力の穴を貫く方向の成分は
　f1cosθ=mgrcosθ/R=mgx/R
従って運動方程式は
　md^2x/dt^2=mgx/R-mxω^2=-m(g/R-ω^2)x・・・(1)

・・・となると思ったのですが、地表では遠心力と重力が釣り合ってると考えているので、
　mRω^2=mg ⇔ ω^2=g/R
となり(1)の括弧の中が０になってしまって上手くいきません。なぜでしょうか・・・？

　　　　

補足日時：2004/07/14 00:51

No.4 回答者： zuyun 回答日時： 2004/07/13 22:28

#2さんの内容の解説です。

"万有引力の大きさはｒに比例"、"地表における万有引力＝ｍｇ"、ですから、地中での引力はｍｇｒ／Ｒです。問題になるのはこの力のトンネル方向成分ｆですが、
「地球中心から見た物体の方向が軸と成す角度」をθとおくと、
ｆ＝ｍｇｒ／Ｒ・sinθ
と書けますが、物体の回転軸との距離をｘとすれば、sinθ＝ｘ／ｒですから、結局
ｆ＝ｍｇｘ／Ｒ
であり、ｘに比例することが分かります。

遠心力に関してはｍｘω^２でｘに比例することは自明ですね。

※ #2さんの言うように、地球の密度が深さによらず一定である必要があります。

この回答への補足

回答ありがとうございます！
No.5さんへの補足でも書きましたが、実はzuyunさんと同じ考えで運動方程式を立ててみました。しかしながら角周波数の2乗にあたる部分がこのままでは0になってしまうのです。(詳しくはNo.5さんへの補足で)
よろしければもう一度再考願えないでしょうか・・・。

補足日時：2004/07/14 01:42

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2004/07/13 22:12

#2です。

＞厳密には万有引力はｘに比例しないと思いますが,

万有引力の回転軸に垂直な方向の成分はｘに比例するようですね。

万有引力の回転軸方向の成分も遠心力もｘに比例するので,結局は単振動をする、という事になりそうですね。