直交座標→極座標or起動座標

ちょっと困った参考書の記述に出くわしました。

質点の変位r、速度v、加速度aが直交座標系で

r＝2*e1＋e2
v＝-1*e1＋3*e2
a＝e1＋e2　　
（ただしe1、e2はそれぞれx、y方向の単位ベクトルです。）

とあらわされているとき、極座標ではe[r]、e[θ]単位ベクトル用いて

r＝√5*e[r]
v＝1/√5*e[r]＋7/√5*e[θ]
a＝3/√5*e[r]＋1/√5*e[θ]

軌道座標系では、接線方向をe[t]、それと直行する方向（つまり法線）をe[n]単位ベクトルとして

r＝1/√10*e[t]-7√10*e[n]
v＝√10*e[t]
a＝2/√10*e[t]-4/√10*e[n]

となる。


というものです。
質問はvとaについてです。位置rを単位ベクトルe1、e2で表すことは常識なので分かりますが、vとaもそれで表せるのですか。そうするとここでの話は、常に時間によらずvもaもそれぞれ一定の方向を向いているということですよね。

もうひとつ質問で、rを極座標で表すのは分かるのですが、vとaがなぜああなるのか悩んでいます。
軌道座標についてはなかなか詳しく書いている文献がないのでもっと困っているのですが、r,v,aともに分からないでいます。普通軌道座標というと、vが与えられてaを出す感じではないのですか。
a＝dv/dt*e[t]＋v^2/ρ*e[n]　　（ρは曲率半径）

とりあえず極座標のv,aだけでも教えていただきたいのですが、詳しい方いらっしゃらないでしょうか。ご教授願いたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： yokkun831 回答日時： 2009/07/23 22:58

>位置rを単位ベクトルe1、e2で表すことは常識なので分かりますが、vとaもそれで表せるのですか。

一般に平面上のベクトルが
A=(A1,A2)=A1・e1+A2・e2
なのですから，位置，速度，加速度，力などベクトル量はすべてこの形式で表現できるのです。

>常に時間によらずvもaもそれぞれ一定の方向を向いているということですよね。

与えられたものは，ある瞬間の値ではないですか？時間変化については何も語られてはいないようです。また，極座標系および軌道座標系では単位ベクトル自体が位置とともに動いていくことに注意してください。

極座標系の単位ベクトルは，直交座標系のものを角θ回転させたものに対応しますね？　すると，
e[r]=e1・cosθ+e2・sinθ
e[θ]=-e1・sinθ+e2・cosθ
の関係が成り立つことを確認しましょう。これをe1，e2について解いて初めの直交座標系による表記に代入すればすべて計算できます。
なおcosθ，sinθは位置ベクトルの方向から算出されます。

軌道座標系については，速度ベクトルの方向にe[t]，それと垂直な方向にe[n]をとるのですから，速度ベクトルの方位角をθにとれば極座標の場合と同じ変換ができますね？

この回答への補足

yokkun831さん

ご丁寧にありがとうございます。嬉しく思います。
なるほど極座標についてはよく分かりました。
恥ずかしながら、まだ軌道座標について未理解があります。

「速度ベクトルの方位角をθにとれば極座標の場合と同じ変換ができますね」
と仰っていますが、方位角とはどこから測っているのでしょうか。
それさえ分かれば極座標と同じように分解してやってみます。
お手数なのですが、一言お答えいただけますか。お願い致します。

補足日時：2009/07/29 22:15

No.2 回答者： yokkun831 回答日時： 2009/07/29 23:50

>方位角とはどこから測っているのでしょうか。

直交座標からの変換を求めたいのですから，極座標の場合に同じでもちろんｘ軸からの中心角です。
極座標の場合に，tanθ=y/x
軌道座標の場合は，tanθ=v_y/v_x
ということになると思います。

この回答へのお礼

再びご丁寧にありがとうございます。
非常に卓越したご回答により、もやもやがすべて吹き飛び大変満足
しております。
ありがとうございました。

お礼日時：2009/07/30 14:35