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集合S、T、R、Qがある。
(S∩R)×(T∩Q)=(S×T)∩(R×Q)
これを証明しなさい。

よくわからないです。
教えて下さい。

A 回答 (1件)

このパターンの証明には、そろそろ慣れてくる頃のはずです。


完全に機械的処理が可能で、頭の運動ではなく、手の運動に過ぎません。
片方の包含関係だけ証明しますので、他方は御自分で証明してください。

任意の (x, y) ∈ (S ∩ R) × (T ∩ Q) に対して
(x ∈ S ∩ R) かつ (y ∈ T ∩ Q), すなわち
(x ∈ S かつ x ∈ R) かつ (y ∈ T かつ y ∈ Q) である。これより
(x ∈ S かつ y ∈ T) かつ (x ∈ R かつ y ∈ Q) がいえるので
((x, y) ∈ S × T) かつ ((x, y) ∈ R × Q), すなわち
(x, y) ∈ (S × T) ∩ (R × Q) となる。
よって, (S ∩ R) × (T ∩ Q) ⊂ (S × T) ∩ (R × Q)
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この回答へのお礼

ありがとうございます! 
とても分かりやすかったです!
後の方は、おっしゃる通り自分で頑張って解いてみます!

お礼日時:2016/04/30 17:49

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Q直積集合の証明問題

A×B、C×Dは直積集合をして、
(A×BがC×Dの部分集合) ⇔
(AはCの部分集合、かつBはDの部分集合)
という証明問題を解きたいのですが、あまりに当たり前なことなので、
逆に何から手をつけて解いていけばいいのか全く分かりません。
どなたか、証明の仕方がわかる方がいましたら、証明の方針だけでも教えて欲しいです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

secret-gooさん、こんにちは。

>A×B、C×Dは直積集合をして、
(A×BがC×Dの部分集合) ⇔
(AはCの部分集合、かつBはDの部分集合)

自信ないんですけど、まず直積集合の定義から。

A×B={(a,b)|∀a∈A,∀b∈B}

今、集合Aの要素が
a1,a2,a3,・・・anとし
集合Bの要素が
b1,b2,b3,・・・bmとする。

A×B={(a1,b1)(a1,b2)・・・(a1,bm),(a2,b1)・・・(a2,bm)
   ・・・・(an,b1)・・・(an,bm)}
までのnm個である。

A×B⊆C×Dであるから、
C×Dの要素は、
{(a1,b1)(a1,b2)・・・(a1,bm),(a2,b1)・・・(a2,bm)
   ・・・・(an,b1)・・・(an,bm)}
を全て含んでいる。

C×D={(a1,b1)(a1,b2)・・・(a1,bm),(a2,b1)・・・(a2,bm)
   ・・・・(an,b1)・・・(an,bm)
(c1,d1)・・・(c1,dl)・・・・(ci,d1)・・・(ci,dl)}
のようにおける。
このとき、定義より
a1,a2,・・・an,c1,c2,・・・ci∈C
b1,b2,・・・bm,d1,d2,・・・dl∈D
であるから、
A⊆C,B⊆Dが成立。

逆に、A⊆C,B⊆Dであるならば、
∀a∈A⊆Cより、a∈C
∀b∈B⊆Dより、b∈D
なので、その直積をとったものについても

{(a,b)|∀a∈A,∀b∈B}について
a∈C,b∈Dがいえているから
{(a,b)|∀a∈A,∀b∈B}⊆C×D
ゆえにA×B⊆C×D

ちょっと自信ありません。

secret-gooさん、こんにちは。

>A×B、C×Dは直積集合をして、
(A×BがC×Dの部分集合) ⇔
(AはCの部分集合、かつBはDの部分集合)

自信ないんですけど、まず直積集合の定義から。

A×B={(a,b)|∀a∈A,∀b∈B}

今、集合Aの要素が
a1,a2,a3,・・・anとし
集合Bの要素が
b1,b2,b3,・・・bmとする。

A×B={(a1,b1)(a1,b2)・・・(a1,bm),(a2,b1)・・・(a2,bm)
   ・・・・(an,b1)・・・(an,bm)}
までのnm個である。

A×B⊆C×Dであるから、
C×Dの要素は、
{(a1,b1)(a1,b2)・・・(a1,bm),(a2,b...続きを読む

Q単射 全射 全単射 について教えてください

タイトルの通り、単射 全射 全単射についていまいち納得できないので教えてください。

今、手元に問題が5つあるのですが


自然数、整数、実数全体の集合をそれぞれN,Z,Rとする。

(1)f:Z→N f(x)=x2(二乗)
(2)f:R→R f(x)=2x(x乗)
(3)f:R→R f(x)=sinx
(4)f:Z→R f(x)=x3(三乗)
(5)f:R→R f(x)=2x+1

例えば、(1)であれば 
Zが1のとき、Nは1、Zが2のとき、Nは4という風にZが決定すればNはただひとつ必ず決まるから単射。
でも、Zが2のときは、Zは1とも-1ともいえるので全射ではない、ということなのでしょうか。
全単射、というのはそうするとどういった状態を言うのでしょうか・・・

それぞれの問題も全くちんぷんかんぷんです。
どうか教えてください。

Aベストアンサー

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
 
(3) f: R→R, f(x) = sin x
 sin x は周期関数ですから,たとえば x = 0,π,2π,... と無限に多くの x に対し f(x) が同じ値になります.だから単射ではありません.
 また sin x は -1 から 1 の値しかとりませんから,R の上に全射でもありません.
 
(4) f: Z→R, f(x) = x^3
 f(x) が単調増加ですから単射です.つまり一つの f(x) に対してもとの x が二つ以上定まるということはありません.
 また f(x) = 2 なる x も Z にはないので全射でありません.
 
(5) f: R→R, f(x) = 2x +1
 全単射です.f(x) は単調に全実数をわたるから単射かつ全射です.

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
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Q空集合のべき集合

空集合のべき集合が空集合であることを証明したいのですが、
こういうあたりまえって思える証明はやっぱり背理法を用いるのでしょうか?

Aベストアンサー

空集合のべき集合は空集合ではなくて,
空集合を要素に持つような集合
{Φ}
を1つ持つのだと思いますが,違うのでしょうか?
一般にn個の要素を持つ集合の冪集合の要素の個数は2^nですが,
n=0のとき,すなわち空のときは,2^0=1で,1つの要素を持つとしてつじつまもあいますし.

Q一様連続でないの厳密な証明は?

微分積分の期末テストで次の問題が出ました。

次の命題の正誤を答えよ。ただし理由も与えること。

命題:関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続である。

この問題で自分は次のように解答しました。

(証)αを与えられた区間内の任意の要素とし、εを任意の整数とする。

あるδとしてmin.(ε/2|α|+1,1)とする。

このとき|x-α|<δ⇒|f(x)-f(α)|=|x^2-α^2|=|xーα|・|x+

α|<・・・・・(略)<δ(2|α|+1)<ε

となり、故にf(x)=x^2は区間[0,∞)で一様連続でない。(なぜなら、δがε

だけでなくαにも依存するから)

この解答で一応マルはもらえたのですが、はじめにδを上のようにしたものだけを考

えていい理由は何なんですかね?もしかしたらεだけでδを表せるかもしれないの

に。考えてはみてるんですがなかなか納得のいく答えが見つかりません。よかった

ら力になってください。よろいくお願いします。

Aベストアンサー

ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で連続である」
ことの証明にはなっていますが
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り
「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する
ことは証明されないからです


「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。
変数の任意性や依存関係が絡み合うこの種の問題(ε-δの応用問題は大体そうです)
を考える時は命題を論理式で書いておくと証明すべきことが見やすくなります。
まず「関数f(x)が区間[a,b)で連続である」を論理式で書くと
∀ε>0 ∀α∈[a,b) ∃δ>0  ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε)
でしたね。つまりこの場合δはεとαの両方に依存しても構わない。
一方「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続である」を論理式で書くと
∀ε>0 ∃δ>0 ∀α∈[a,b) ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε)……(1)
となります。変数δとαに関する記述の位置が入れ替わっていることに注意して下さい。
この場合δはεだけに依存します。
そして「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続でない」という命題はこれの否定命題ですから
∃ε>0 ∀δ>0 ∃α∈[a,b) ∃x(|x - α| < δ かつ |f(x) - f(α)| ≧ ε)……(2)
となります。(論理式の変形規則についてはご存知でしょうね)

つまり「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことを証明するためには,具体的なεと任意のδをとってきてそのε,δの組に
対して(2)式の括弧内の条件を満たすようなα,xがとれることを示せば良いのです。
これを示しましょう。

ε=1/2とし,任意のδを1つ固定し, α≧ 1/(2δ) とします。
x= α+(δ/2) とするとxは(1)式の前提条件
|x - α| < δ を満たします。しかし
|f(x) - f(α)|= |x^2 - α^2| = | (α+(δ/2))^2 - α^2 |= | αδ + δ^2/4 |≧ 1/2 =ε
ですから一様連続でないことがいえました。          ■

証明が間違っているにも関わらず先生が○をくれた理由は推測するしかありませんが
(1)一応「一様連続でない」という結論はあっているので、
証明も正しいものと勘違いした
(2)実は先生もわかってない(まさかね^^;)
(3)一応「一様連続でない」という結論はあっていることと
証明を読んで(間違いではあるものの)一様連続性についても
一応は理解しているものと判断して○にした。

というところが考えられますが本当のところ先生に聞いてみた方が良いでしょうね。

ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で連続である」
ことの証明にはなっていますが
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り
「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する
ことは証明されないからです


「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。
変数の任意性や依存関係が絡み合うこの種の...続きを読む

Q閉包と集積点と内部

閉包と集積点と内部(及び境界)の関係を、初心者でもわかるように教えていただけないでしょうか。特に、それらが集合において何を意味しているのかを教えていただけないでしょうか。

閉包A ̄は、
任意のxの近傍V(x)において、V(x)∩A≠φ(φは空集合)であるxの集合
集積点a(A)は、
T∩(A-{x})≠φとなるxの集合
(Aの相違な元列が1点Pに近づくときのPのこと…?)
内部i(A)は、
Aに含まれる位相空間(X,τ)の開集合全体の和集合である。i(A)={a∈A:V(a)⊂Aとなる近傍V(a)が存在する}

Aベストアンサー

>現段階で、位相はある全体集合の中に、ある決まりに基づいた開集合、閉集合を規定すること?と理解しています。

それは正しいのですが,もしかして集合には
開集合と閉集合しかないと思ってませんか?
閉集合の定義はたしかに「開集合の補集合」ですが,
それは決して
「開集合ではない集合を閉集合という」
という意味ではありません.
これは初心者がよくおかす勘違いです.

例:
(0,1] は開集合でも閉集合でもない
(0,1] の内点集合は (0,1)
(0,1] の閉包は [0,1]
(0,1] の集積点からなる集合は [0,1]
(0,1] の境界は {0,1}

自分で具体例を構築する訓練をしてください.
非数学科の方が応用が主眼なので,より複雑なものが
でてくる傾向があります.
#顕著な例は,金融方面の確率偏微分方程式とか
#工学系だと,なにかの状態空間の議論かな,位相とか使いそうなの.

Q解析学の連続関数?の問題でこまっています

教えていただきたいのは、以下の問題です。

f[a,b]→Rが [a,b] 上連続で、f の取る値がすべて有理数ならば f は定数関数になることを示せ

ヒント:中間値の定理
f[a,b]→Rが[a,b]上で連続とすると、fはf(a) とf(b)の中間の値をすべて取る
有理数の稠密性 
任意の実数 x と任意のε>0に対しある有理数 q で|x-q|<εを満たすものが存在する

よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

ある実数a、bに対してf(a)<f(b)であると仮定します

このときf(a)<f(b)の間にある無理数cが存在します。
(たとえばf(a)-√2とf(b)-√2の間にある有理数をとってきてやり(有理数の稠密性)それをrとすれば√2+rが間にある無理数となりまっす)
今中間値の定理によってある実数dが存在してf(d)=cとなります。
しかしこれはfのとる値がすべて有理数であるということに反します。

よってすべての実数a,bに対してf(a)=f(b)となるのです QED

Q【代数学】可換群の証明

【問題】
Gを群とする。任意の、x,y属する(記号の入力がわかりません)Gに対して(xy)^2=x^2y^2が成り立つならば、Gは可換群であることを示せ。ただし、群の公理のみを使って示すこと。

【解答】
群の公理は、以下の①から④である。
①その演算に関して集合は閉じていること。
②結合法則
③単位元の存在
④逆元の存在

①は条件より満たされている。
②は、(xy)^2=x(yy)x=x)y^2)x=x^2y^2となり、満たされる。
③は、単位元1があるため、満たされる。
④は、逆元0があるため、満たされる。
以上から、Gは可換群ということができる。

【質問】
以上のようにして問題を解きました。
したところ、×でした。
どなたか、正答をお教えください。

Aベストアンサー

質問者は問題の意図を完全に理解していません。

問題が聞いているのはGが可換群であることを示すことです。

Gが群であることは問題の前提であるため証明する必要はありません。
証明すべきことは可換、つまり
xy=yx
であることです。

ここで使えるのは群の公理と(xy)^2=x^2y^2だけ。
結合則から
(xy)^2=(xy)(xy)=x(yx)y
これがx^2y^2と等しい。
つまり
x(yx)y=x^2y^2

質問者は②のところでいろいろ変形していますが、証明すべきxy=yxを使って式を変形しているため問題です。xy=yxというのは証明していないため使えません。

x(yx)y=x^2y^2

この式の両辺に左からx^-1,右からy^-1をかけてみましょう。そうすれば
xy=yx
が得られるはずです。


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