直積集合の証明について

集合S、T、R、Qがある。
（S∩R）×（T∩Q）＝（S×T）∩（R×Q）
これを証明しなさい。

よくわからないです。
教えて下さい。

No.1 ベストアンサー 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/04/29 23:54

このパターンの証明には、そろそろ慣れてくる頃のはずです。

完全に機械的処理が可能で、頭の運動ではなく、手の運動に過ぎません。
片方の包含関係だけ証明しますので、他方は御自分で証明してください。

任意の (x, y) ∈ (S ∩ R) × (T ∩ Q) に対して
(x ∈ S ∩ R) かつ (y ∈ T ∩ Q), すなわち
(x ∈ S かつ x ∈ R) かつ (y ∈ T かつ y ∈ Q) である。これより
(x ∈ S かつ y ∈ T) かつ (x ∈ R かつ y ∈ Q) がいえるので
((x, y) ∈ S × T) かつ ((x, y) ∈ R × Q), すなわち
(x, y) ∈ (S × T) ∩ (R × Q) となる。
よって, (S ∩ R) × (T ∩ Q) ⊂ (S × T) ∩ (R × Q)

この回答へのお礼

ありがとうございます！　
とても分かりやすかったです！
後の方は、おっしゃる通り自分で頑張って解いてみます！

お礼日時：2016/04/30 17:49